Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
возрастает направо; q — вектор обратной решетки в направлении [111].
когда учитываются эффекты для всех восьми плоскостей, они становятся довольно заметными.
Имеется и зависящая от энергии поправка первого порядка к плотности состояний, обязанная своим появлением поправке первого порядка к энергии (k | w | к>. Она, однако, довольно мала и не приводит к возникновению характерной структуры линии. Таким образом, в первом порядке по псевдопотенциалу характерная структура возникает только благодаря изменению силы осциллятора.
Характерная структура в плотности состояний появляется только во втором порядке теории возмущений по псевдопотенциалу. Мы опять можем сложить изменения плотности состояний, возникающие из-за каждой плоскости зоны Бриллюэна. Это следует делать, используя соотношение (2.31), выражающее компоненту
25-0267
386
Гл. III. Электронные свойства
волнового вектора xt, перпендикулярную вектору обратной решетки, через компоненту xz> параллельную вектору обратной решетки
Ф и г. 106. Система коорди-нат, используемая при изу-* чении поверхностей постоянной энергии около грани зоны Бриллюэна.
Сплошные кривые представляют поверхности, которые используются при вычислении объема.
при данной энергии (фиг. 106). Это выражение, в котором были использованы атомные единицы, можно переписать в форме
х! = 2?-({)-х!тУг (<тх2)’ + 4 и>\ (3.103)
Знаки «минус» или «плюс» соответствуют двум решениям для одних и тех же xz. Полный объем, ограниченный поверхностью постоянной энергии при заданном ?, равен интегралу
Q (?) = я j dxz X?. (3.104)
Этот интеграл довольно громоздкий, но его производная по Е весьма проста.
Рассмотрим сначала интеграл (3.104) для достаточно малых энергий, таких, при которых поверхность Ферми не достигает границы зоны. Тогда всей области энергий отвечает знак «плюс» в выражении (3.103). Нижний и верхний пределы по xz в (3.104) обозначены соответственно как xj и xz и получены из выражения (3.103) согласно условию xt = 0. Дифференцируя выражение для Q (?) по энергии, мы получаем производные пределов по энергии, но так как подынтегральное выражение на обоих пределах обращается в нуль, они вклада не дают. Кроме того, необходимо продифференцировать по энергии подынтегральное выражение, причем вклад даст только первое слагаемое выражения (3.103). Таким образом,
-^ = 2я(х*-хГ).
Этот простой результат получается также, когда изоэнергети-ческая поверхность уже касается, но еще не перекрывает грани зоны. Тогда верхний предел становится равным q/2 и совершенно не зависит от энергии. Наконец, следует рассмотреть случай перекрытия изоэнергетической поверхностью грани зоны Бриллюэна.
§ 5. Оптические свойства
387
Здесь нужно быть внимательными при вычислении пределов и правильно выбрать знак в выражении (3.103) (см. фиг. 106). Используя точные выражения для х? (для одной брэгговской плоскости и псевдопотенциала, независящего от энергии), мы избегаем расходимости вблизи грани зоны и можем построить всю кривую Q (?), что и показано на фиг. 105. Как и можно было ожидать, характерная структура оказывается выраженной несколько слабее, чем та, которая возникает из-за поправок к силе осцилляторов, поскольку появляется она в более высоком порядке теории возмущений. Конечно, особенности в интенсивности как функции от энергии, возникающие из-за поправок к плотности состояний, реально существуют. Обстоятельство, которое мы хотели здесь подчеркнуть, заключается в том, что соответствующие эффекты, возникающие из-за поправок к силе осциллятора, больше.
Имеется второе важное отличие между поправками первого и второго порядка. Матричный элемент псевдопотенциала, соответствующий отдельной грани зоны Бриллюэна, может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того, оказывается ли наинизшее по энергии состояние на грани зоны Бриллюэна четным или нечетным. Вильсон [21, имея в виду матричные элементы истинного потенциала, естественно полагал, что s-состояние лежит всегда ниже, и рассматривал только отрицательные матричные элементы. В наиболее простых металлах матричные элементы псевдопотенциала оказались на самом деле положительными. Поправки к силе осциллятора, будучи пропорциональными матричным элементам псевдопотенциала, меняют знак с изменением знака псевдопотенциала. Напротив, поправки к плотности состояний, будучи пропорциональными квадратам матричных элементов псевдопотенциала, не зависят от знака самих матричных элементов.
Эти результаты для простых металлов усиливают опасение, что мы могли ошибиться, считая силу осциллятора константой и интерпретируя эксперименты на языке плотности состояний. Кроме того, оказывается, что тонкая структура спектра вполне может возникнуть благодаря чисто многочастичным эффектам (см. п. 8 настоящего параграфа), так что при попытках сделать выводы об электронной структуре, исходя из экспериментальных, данных, требуется особая осторожность.
Несмотря на трудности в интерпретации рентгеновских спектров, так же как и любых других оптических свойств, они представляют собой важный инструмент для изучения электронной структуры: во-первых, из-за того, что они дают информацию о состояниях, далеких от энергии Ферми, и, во-вторых, потому, что они применимы к сплавам, в которых малая средняя длина свободного пробега мешает использованию других методов изучения поверхности Ферми.
