Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
J 00 = Ж j (—*)«(Р. *)
а?(у я) сРр. (3.105)
dt [collisions
= 0.
§ 6. Теория ферми-жидкости Ландау
397
Величина Е (р,х ; я) входит в теорию во многом подобно обычному гамильтониану. Однако следует отметить, что вычислить полную энергию через величины Е (р, х; л) так, как это делается для невзаимодействующих частиц, невозможно. Другими словами,
?tot Ф -jjr j Е (р, х; л) п (р, х) d?p сРх.
Однако мы можем вычислить энергию, которая требуется для того, чтобы добавить одну частицу. А это все, что нам нужно, поскольку нас обычно, как и при решении уравнения Больцмана, интересуют поправки к функции распределения первого порядка, а для этих малых поправок функциональная производная вычисляется из равновесного распределения.
Можно сразу же найти саму равновесную функцию распределения, которая определяется с помощью обычного для статистической механики вариационного метода. При этом мы производим вариации относительно равновесного распределения и энергия Е (р, х; л), которая входит в распределение Ферми, вычисляется при равновесии. Единственное использованное здесь предположение опять-таки состоит в том, что функция л (р, х) полностью описывает систему.
Во многих случаях оказывается необходимым найти поправку первого порядка к Е (р, х; л), возникающую из-за изменения функций распределения в первом порядке. Эта величина должна, например, войти в изменение полной энергии второго порядка, возникающее из-за поправок первого порядка к функции распределения. Результат можно сразу же написать в виде
бЕ (р, х; л) = -jp J f (р, р', х, х'; л) бл (p't х') d*p' сРх',
где / (р, р', х, х'; л) — функциональная производная Е (р, х; л) по я (р, х). [Заметим, что это вторая функциональная производная полной энергии по л (р, х), взятая в точке функционального пространства л (р, х).] Величина / называется квазичастичным взаимодействием, так как она представляет собой изменение энергии частицы с импульсом и координатой (р, х), возникающее при добавлении частицы (р', х'). Эта величина есть, конечно, функционал от л (р, х). Величины
?(р, х; По) и /(р, р\ х, х';ло) суть две феноменологические функции, которые входят в теорию и на которых основано вычисление свойств системы; заметим, что обе они вычисляются при равновесном распределении.
Здесь можно было бы впасть в опасную ошибку и воспринять все вышеизложенное как оправдание одноэлектронного приближения. Представляется вполне разумным утверждение, что многочастичные эффекты приводят просто к перенормировке энергии Е (р) (которую мы нашли бы из зонных вычислений, пренебрегая
398
Гл. III. Электронные свойства
взаимодействием между квазичастицами), а далее следует продолжать в том же духе, как и раньше. Можно, однако, на примере вычисления плотности тока, задаваемой соотношением (3.105), убедиться в том, какими неприятностями чревато такое предположение. Запишем функцию распределения в виде суммы равновесного слагаемого и поправки первого порядка и найдем плотность тока в первом порядке. В классическом рассмотрении нам следовало бы просто подставить в (3.105) поправку к функции распределения- первого порядка и использовать скорость дЕ/др в нулевом
Фиг. 108. Схематическое представление различных составляющих тока в газе взаимодействующих электронов.
На фигуре слева — ферми-сфера в основном состоянии. Вклад в ток от квазичастиц с противоположными волновыми векторами взаимно уничтожается. На фигуре справа добавлено квазнчастнчное возбуждение, дающее нескомпеиснрованный вклад в ток. Кроме того, скорости всех других квазнчастнц изменяются возбуждением так, что и они дают вклад
в ток.
порядке, так как в нулевом порядке тока нет. В теории ферми-жидкостей, однако, мы видим, что имеется поправка первого порядка и к энергии Е (р, х; п), пропорциональная поправке первого порядка к функции распределения. Она также дает вклад первого порядка в ток. Это второе слагаемое прямо пропорционально квазичастичному взаимодействию. В результате простых вычислений находим
— -р- J a"°ap.’X }/(Р'. Р. х; no)dV'dV] d3p,
где индекс нуль показывает, что соответствующие величины берутся в равновесии. (При этом выводе мы провели интегрирование по частям по р и поменяли переменные интегрирования.) Таким образом, можно заключить, что возбуждение одной квазичастицы изменяет скорость других и приводит к появлению дополнительного вклада в ток. Это показано на фиг. 108.
Мы видим, что изменение тока, связанное с возбуждением квазичастицы, отличается от соответствующей величины в отсутствие взаимодействия как из-за перенормировки скорости квази-
§ 6. Теория ферми-жидкости Ландау
399
частицы, так и непосредственно из-за взаимодействия квазичастиц. Относительная величина этих двух слагаемых зависит от рассматриваемых обстоятельств. В частности, можно заметить, что, если просто сдвинуть полное равновесное распределение на фиксированную дрейфовую скорость, полный текущий ток должен просто равняться заряду —е, умноженному на плотность имеющихся частиц и на их дрейфовую скорость. Это следует из галилеевой инвариантности: сдвиг скорости эквивалентен переходу в движущуюся систему координат. Можно также вычислять ток и в лабораторной системе координат. Тогда в токе появятся добавки, как обязанные своим происхождением возбуждению квазичастицы, так и возникшие из-за тока, внесенного другими квазичастицами. Таким образом, в этом случае многочастичные эффекты должны полностью друг друга компенсировать. Можно формально провести вычисления и найти таким образом связь между скоростью квазичастицы и квазичастичным взаимодействием (см. задачу 14 настоящей главы).
