Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Все изложенное имеет совершенно общий характер. Трудность коренится в вычислении параметров взаимодействия dzW/dridrj. Весьма разумным представляется традиционный подход к решению этой задачи. Он состоит в следующем. Заметим, что параметры взаимодействия описывают связь между парами атомов. Предполо-
§ 1. Метод силовых постоянных
411
жим, что связь между ближайшими соседями много больше, чем связь между более отдаленными атомами. Поэтому если представить себе, что уравнения (4.4) описывают движения точечных частиц, соединенных пружинками, то можно считать, что упругость пружин, связывающих ближайшие атомы, много больше, чем пружин, связывающих отдаленные атомы. Соответствующие константы упругости пружин или коэффициенты связи будем считать заданными параметрами. При этом будем принимать во внимание лишь столько параметров взаимодействия между соседними атомами, сколько можно выразить через известные параметры рассматриваемой системы, как, например, упругие постоянные.
В общем случае матрица взаимодействия для любых двух атомов зависит от 9 независимых констант связи между ними. Конечно, число независимых констант можно значительно уменьшить, используя соображения симметрии. Действительно, матрица взаимодействий не должна изменяться под действием любого преобразования симметрии, принадлежащего точечной группе кристалла. По этой причине обычно остаются лишь две независимые константы, описывающие взаимодействие между ближайшими соседями. Для описания взаимодействия со следующими ближайшими соседями могут потребоваться еще две или три константы и т. д. Удобно представлять себе, что эти взаимодействия описываются упругими связями между атомами. Тогда можно говорить о силовых постоянных изгиба и силовых постоянных растяжения. Если определить несколько таких констант, выразив их через экспериментально наблюдаемые параметры, и пренебречь остальными константами, то можно непосредственно вычислить весь спектр колебаний решетки.
Этот общий подход можно считать вполне строгим. Единственное приближение при этом состоит в ограничении числа учитываемых силовых постоянных. Тем не менее этот подход оказался совершенно непригодным для количественного описания спектра колебаний твердых тел главным образом вследствие того, что дальнодей-ствующие силы играют на самом деле существенную роль. В металлах такие дальнодействующие силы возникают за счет взаимодействия между ионами, модулированного электронами проводимости. Природу происхождения этих сил можно уяснить, рассмотрев описанные выше фриделевские осцилляции экранирующего поля. Такие флуктуации плотности заряда вблизи одного атома неизбежно приводят к флуктуациям сил, действующих на атомы, находящиеся на больших расстояниях от данного атома. Разумеется, в ионных кристаллах кулоновское взаимодействие между атомами простирается на большие расстояния. Даже в полупроводниках силы оказываются дальнодействующими, что, по-видимому, связано с дипольными или квадрупольными моментами, появляющимися у атомов при деформации кристалла.
412
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Неудача описанного подхода проявлялась по мере накопления данных о спектрах колебаний. Первоначальные вычисления спектров колебаний основывались на использовании упругих постоянных. Дальнейшие измерения конкретных мод колебаний дали дополнительную информацию о спектрах, которая оказалась в общем случае противоречащей первоначальным расчетам. Эти расчеты были поэтому исправлены добавлением других силовых постоянных, и тем самым была учтена вся известная информация. При этом, однако, оказалось необходимым существенно изменить все ранее определенные силовые постоянные, что указывало на очень медленное убывание силовых постоянных с увеличением расстояния. Эта процедура повторялась вплоть до включения поправок от семи систем соседей. Однако успех был достигнут лишь тогда, когда были введены дальнодействующие силы. Особенно удачным оказался метод модели оболочек, в котором искажения атомов и возникающие при этом дальнодействующие силы учитываются феноменологически [1].
Несмотря на отмеченные трудности, связанные с использованием метода силовых постоянных для количественных расчетов, он сохраняет ценность для качественных исследований природы колебаний решетки. Поэтому полезно начать наше обсуждение с приложения модели силовых постоянных к исследованию колебаний одной очень простой системы.
1. Приложение к простой кубической структуре
Рассмотрим твердое тело с простой кубической структурой п обсудим сначала матрицу взаимодействий dPWIdridrj. Рассмотрим прежде всего взаимодействие между ближайшими соседями (фиг. 110). Мы предположим, что взаимодействие между атомами является центральным, т. е. предположим, что энергия изменяется при изменении расстояния между соседними атомами. У каждого атома имеется 6 ближайших соседей, причем взаимодействие с каждым из них описывается одной и той же силовой постоянной, которую мы обозначим через х,. Мы могли бы затем попытаться найти константу взаимодействия, соответствующую поперечному смещению (сдвигу) соседних атомов. Такое смещение приводит к изменению ориентации связи (или вектора разности положений) между атомами. Наличие такого члена, соответствующего увеличению энергии, пропорциональному квадрату приращения вектора связи при вращении, приводило-бы к увеличению энергии кристалла, вращаемого в пространстве, как целого. Это, разумеется, с физической точки зрения неприемлемо, и мы должны положить константы, отвечающие боковым смещениям, равными нулю. В противном случае необходимо учитывать взаимодействия с более отдаленными соседями, которые при вращении кристалла как целого компенси-
