Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
бГ; = Sjq,
где со3 = (а,, а вектор q принимает ЗА/ значений. (Чтобы не использовать лишних индексов, мы ввели векторы q и Sjg, имеющие по три компоненты.) Подставляя эти выражения в уравнение (4.9), получаем
2(-Sf--“54s*=°- (4Л°)
3
В случае идеального кристалла с одним атомом на примитивную ячейку в качестве вектора q можно взять волновой вектор плоской волны, удовлетворяющей граничным условиям периодичности. Как мы знаем, используя симметрию, мы можем представить тогда решение в виде
S (д) ЛГЛ
1/N
где S (q) — единичный вектор, а три компоненты вектора q пробегают значения внутри трех зон Бриллюэна. Чтобы не вводить лишних индексов, воспользуемся снова представлением расширенной зоны. Нормировочные множители выберем таким образом, что
2 = S* (q) S (q) б?-?.
3
Из этого условия следует, что матрица Sjq унитарна, и обратная ей матрица равна
с-} _ е*
— ^зч-
Даже если кристалл и неидеален, существуют нормальные моды, и они определяют матрицу S,,, которая имеет обратную матрицу
Sjq = —Щу=—, (4.11)
428
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
и унитарна. (Унитарность матрицы S не столь существенна, как существование обратной матрицы. Для упрощения обозначений будем, кроме того, записывать обратную матрицу в виде S-1, где тильда указывает на то, что эта величина является матрицей.) Перепишем теперь уравнение (4.10) в диагональной форме, умножив его на матрицу:
2 sSjq-0)*6„.S* (q) S(q) = 0. (4.12)
a
Матрица S~\WIM)S диагональна, и ее диагональные элементы равны квадратам собственных функций. При решении уравнений (4.9) или (4.10) мы имели дело с весьма общей проблемой. Например, точно таким же способом можно рассмотреть задачу о примесных электронных состояниях в приближении сильной связи. В этом случае величины Wtj являются матричными элементами гамильтониана по атомным состояниям, ш2 — это искомая энергия электрона. В дальнейшем для определенности будем рассматривать только задачу о локализованных модах колебаний.
Вместо того чтобы сводить задачу о вычислении ш, к задаче о диагонализации матрицы W/М, можно свести ее к задаче о вычислении функции Грина, определяемой уравнением
j
или, в матричных обозначениях,
(-J--0>2Т)8=Т. (4.13)
Таким образом, G совпадает с матрицей, обратной матрице W/M — й>21 (если последняя существует). Умножая уравнение (4.13) слева на S-1, а справа на S, можно выразить б через S-Тогда получим _
S'1 (-fj--f>2T) GS = S~4S,
или
(S-i^-S-ш2) S_1G5 = T.
Возвращаясь к подробной записи и пользуясь уравнением (4.12), находим
((Од — Ш2) Sq^jGjkSkq = бq'q.
Таким образом,
S^jGjhShq = —rz^r ’
§ 3. Локализованные моды
429
ИЛИ
««=2$^- <«•<<> 9
Эта функция, как и одноэлектронная функция Грина, имеет полюсы в точках, совпадающих с собственными частотами. Если бы в случае неидеального кристалла было известно какое-либо явное выражение, определяющее зависимость Gjh от со*, то для определе ния собственных частот достаточно было бы найти полюсы функции Грина. Однако чтобы с помощью выражения (4.14) найти функцию Грина, необходимо сначала решить задачу на собственные значения. Таким образом, мы пока ничего не выиграли, а просто выразили решение задачи другим способом. Ниже мы найдем выражение для функции Грина посредством решения задачи на собственные значения для идеального кристалла, а затем воспользуемся найденным выражением для того, чтобы вычислить собственные значения при наличии дефекта. В случае идеального кристалла величины S}q в выражении (4.14) определяются соотношением (4.11), так что мы получаем представление функции Грина в виде
с / > с* / \ '9 (Г/-ГЬ>
g>, - V (q) (ч)е 1 /л 1
я
где S (q), как и прежде, есть единичный вектор, определяющий направление поляризации моды с волновым вектором q. Верхний индекс «нуль» указывает на то, что это решение относится к идеальному кристаллу (без дефектов).
Вернемся к уравнению (4.9), которое теперь надлежит решить для кристалла с дефектом. Разобьем матрицу Wtj/Mi на две части, обозначив через значение этой матрицы для идеального
кристалла и через Сц = б (WijlMi) добавку, вызванную наличием дефекта. Если дефект связан не только с изменением силовых постоянных, но и с изменением массы атома, то, прежде чем вводить добавки 6Wij и бMit удобно умножить уравнение (4.9) на невозмущенную массу Mi. Введя эти добавки, снова разделим уравнение (4.9) на и найдем, что С и можно представить в виде
^ 2 б Mi я
Си=~Щ—ш2Т6"-Умножая уравнение (4.9) слева на б®, получаем
ij Ч
430
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
ИЛИ
(4.16)
Для получения первого члена в этом уравнении мы воспользовались тем, что невозмущенная функция Грина Gii совпадает с матрицей, обратной матрице (WtjlMt — ©26^), а при получении второго члена мы подставили функцию Gff в виде (4.15).
Для решения уравнения (4.16) необходимо, как и раньше» диагонализовать матрицу очень высокого порядка. Эта матрица М имеет вид
Преимущество использования матрицы Mhj проявляется, когда матрица Сц описывает локализованный дефект. Так, если матрица Сц отлична от нуля лишь для небольшого числа значений t и / (т. е. лишь для нескольких атомов), то в матрице Мм отличны от нуля лишь несколько столбцов. Если, например, дефект описывается модифицированной массой одного из атомов, скажем п-го атома, то матричные элементы Мм отличны от нуля лишь при / = л. При этом матрица Мм (<|>а) + Ьм имеет вид
