Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Поясним очень грубыми рассуждениями, какие эффекты дает учет низкочастотных мод. При любом фиксированном значении температуры Т состояния с частотой ш, меньшей, чем критическое значение
Tita — hvtf = КТ,
§ 2. Фононы и теплоемкость решетки
425
где v,— скорость звука, должны подчиняться классическому закону распределения. Число таких мод пропорционально величине AnifIZ, а значит, Пропорционально Т3. Классическая энергия этих состояний, таким образом, пропорциональна 74, а теплоемкость ведет себя как Т*. Такое поведение теплоемкости при низких температурах хорошо известно и наблюдалось для многих твердых тел.
Приближенное вычисление выражения для теплоемкости решетки, правильно описывающего ее поведение как при низких, так и при высоких температурах, было впервые выполнено Дебаем. Сосредоточим внимание на длинноволновых модах. Их можно описать приближенно, задавая значения продольной и поперечной скоростей. В еще более простом приближении можно считать, что эти моды вырождены и имеют одинаковую среднюю скорость v,. Тогда число мод в частотном интервале da> = vjdq равно
Используя статистику Бозе — Эйнштейна, сумму по всем модам можно заменить интегралом по пространству волновых чисел. Для получения правильного числа состояний необходимо обрезать этот интеграл на дебаевской частоте а>д, выбираемой таким образом, что число состояний внутри сферы в q-пространстве с радиусом a>D равно числу состояний в зоне Бриллюэна. Иными словами, зона Бриллюэна заменяется сферой, имеющей одинаковый с ней объем. Дебаевская температура 0D связана с частотой обрезания соотношением
Непосредственным вычислением нетрудно получить окончательно следующее выражение для теплоемкости:
Эта формула в графическом виде представлена на фиг. 120. При высоких частотах отсюда следует закон Дюлонга и Пти, а при низких частотах получается зависимость
Необходимо отметить, что разделение спектра на независимые моды возможно лишь приближенно. В разложении энергии (4.2) могут играть роль и члены высших порядков, которые называют ангармоническими членами. Нетрудно убедиться, что в трехмерном
3bsjr]
вп/Г
и
426
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
кристалле на самом деле необходимо учитывать такие члены. Даже в том случае, когда явно используется модель гармонических силовых постоянных, описанная в предыдущих разделах, в выражении для энергии появляется член четвертого порядка по смещениям. (Действительно, если атом движется по направлению, перпендикулярному линии, соединяющей его с соседним атомом, то изменение расстояния между ними пропорционально квадрату смещения.) Такие ангармонические члены приводят к появлению взаимодействия между найденными нами модами, которое можно описать как рассеяние фононов друг на друге. Другой эффект ангармоничности — это изменение равновесного объема при изменении температуры, т. е. тепловое расширение решетки. Его можно приписать непараболичности или асимметрии взаимодействия между атомами. Иначе его можно интерпретировать как взаимодействие между обычными модами колебаний и продольными модами с нулевым волновым числом.
§ 3. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ МОДЫ
В последние годы для исследования колебаний решеток с дефектами весьма успешно применялся метод классических функций Грина1). Основная трудность, возникающая при рассмотрении колебаний в кристаллах с дефектами, состоит в том, что утрачивается трансляционная инвариантность, которая в идеальном кристалле позволяет найти вид колебательных мод, используя лишь соображения симметрии. Если, однако, ввести в решетку лишь один дефект, то остальная часть ее остается идеальной. Поэтому оказывается возможным учесть влияние этой идеальной части решетки с помощью функции Грина, а затем сосредоточить внимание на движении самого дефекта. Тем самым задача по существу сводится к изучению «молекулярных» колебаний дефекта.
Для начала сформулируем задачу о нормальных колебаниях в форме, удобной для математического исследования. Покажем, как эта задача решается посредством диагонализации некоторой матрицы в случае идеального кристалла, а затем продемонстрируем, как ее можно решить с помощью функций Грина идеального кристалла. Наконец, мы рассмотрим кристалл с дефектом, причем в качестве простейшего дефекта возьмем атом с массой, отличной от массы атомов решетки.
Вернемся к формуле (4.3), выражающей силу, действующую на i-й атом, через смещения б г,- всех остальных атомов. В нормальной моде каждый атом колеблется с одной и той же угловой частотой (о, так что каждое смещение можно записать в виде
бг }е~ш.
*) Соответствующие ссылки можно найти в книге [31.
§ 3. Локализованные моды
427
где 617 — комплексные амплитуды, не зависящие от времени. Приравняем эту силу массе i-ro иона М(, умноженной на его ускорение —(1)абг{е-ш, тогда получим
F( = — 2 fyfrj вгje-iwt = — М,(1)2бг/е il0(. j
Это уравнение можно переписать в виде
2(ж-шгМбг'=0’ (4-9)
j
где
W,y. W
drtdrj
Смещение каждого из N атомов определяется тремя компонентами вектора 817, и поэтому уравнение (4.9) имеет ЗА/ решений. Нумеруя эти решения с помощью вектора q, запишем их в виде
