Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ I. Метод силовых постоянных
419
можем пренебречь первым решением. Это соответствует представлению расширенной зоны в том смысле, в котором оно использовалось при описании электронных состояний.
Вместо этого можно было бы учитывать обе кривые, но при этом считать, что волновые числа лежат в приведенной зоне
я ^ ^ я
Пользуясь в случае М2 = М4 приведенной зоной, мы нашли бы, что ui = ы2 Для второго решения и Ui = —н2 для первого решения. При Mt = М2 такое представление решений неудобно но оно
Ф и г. 115. Зависимость «о от q для распространяющихся по направлению [100] продольных мод колебаний кристалла, изображенного на фиг. 113;
случай М1 > Мг.
Приведенная зона определяется условиями —п/2 а < q $ я/2 а.
эквивалентно полученному ранее. Это представление основано на том, что примитивной ячейкой считается ячейка с размерами 2а, а, а, а не с размерами а, а, а. В случае одинаковых атомов, конечно, более правильно брать примитивную ячейку о, а, а.
Пусть теперь масса Мj очень мало отличается от массы Мг. Из выражения (4.8) видно, что при этом большая частота немного возрастает, а меньшая частота немного уменьшается, и мы получаем две непересекающиеся кривые, изображенные на фиг. 115. Как и при рассмотрении приближения почти свободных электронов, на границах меньшей зоны Бриллюэна, основанной на большей примитивной ячейке (2а, а, а), появляются щели. Верхнюю полосу частот называют оптической полосой, а нижнюю — акустической полосой. Смысл этих названий можно понять, рассмотрев форму соответствующих дисперсионных кривых при малых значениях волнового числа q. При малых значениях q уравнение (4.7) для акустической моды дает ut = ы2, т. е. атомы обоих типов движутся
27*
420
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
вместе в длинноволновой волне сжатия. Для оптической моды колебания при малых q находим, что = —M2u2/Mi, т. е. соседние атомы движутся навстречу друг другу. Если заряды этих атомов различны, то по кристаллу распространяется волна электрической поляризации с волновым числом q. Оптические колебания возникают при инфракрасных частотах и их можно возбудить
•• О О о • о- • -о • о- •
о о о • о- • »о • о •
•- о «• о о «• • о* • -о • о* •
•«- о «• о о «• • о • »о • о* •
о -• о о «• • о • -о • о* •
Акустические моды 1 1 моды
Ф п г. 116. Схематическое изображение амплитуд смещений (дна1рамм смещений) продольных мод с волновым числом q = п/2а для кристалла, изображенного иа фиг. 113.
Черные кружки соответствуют атомам, более тяжелым, чем атомы, изображенные свет*
лымн кружками.
инфракрасным излучением. Мы вернемся к этому вопросу позднее. Можно также выяснить вид колебаний вблизи границы зоны q = п/2а. Соответствующие диаграммы приведены на фиг. 116. Отметим, что в каждой моде движутся лишь атомы одного типа. Меньшей частоте соответствует мода, в которой движутся более тяжелые атомы.
Такое же разделение колебаний на акустическую и оптическую ветви происходит в любых кристаллах с двумя атомами на примитивную ячейку. Это относится не только к продольным колебаниям, но и к поперечным. Таким образом, для кристалла с двумя атомами на примитивную ячейку мы получаем всего 6 мод, как это показано на фиг. 117.
Структуру, рассмотренную выше, мы выбрали из соображений упрощения математической задачи. Для кристаллов с двумя атомами на примитивную ячейку более типична структура хлористого натрия, изображенная на фиг. 118. В этом случае, как и в рассмотренном выше, соседние ионы С1- и Na+ при акустических колебаниях с большой длиной волны движутся в фазе. При длинноволновых оптических колебаниях ионы Na+ образуют решетку, движущуюся как целое, и точно так же движется как целое под-решетка, образованная ионами С1~. Внутри каждой примитивной ячейки колебания очень похожи на молекулярные колебания содержащихся в ячейке атомов. В случае оптических колебаний, распространяющихся в направлении 11001 кристалла NaCl, эти «молекулярные» колебания соответствуют колебаниям с растяже-
§ I. Метод силовых постоянных
421
нием связи н двум вращательным колебаниям. При добавлении новых атомов в примитивную ячейку возникают дополнительные молекулярные колебания, соответствующие различным оптическим модам.
В ионных кристаллах два атома в примитивной ячейке имеют разные заряды. Одно из оптических колебаний соответствует
Фиг. 117. Оптические и акустические моды колебаний произвольного (нет вырождения) кристалла с двумя атомами на примитивную ячейку.
По форме этих кривых при малых q можно разделить все моды на продольные оптические, поперечные акустические п поперечные оптические. Граница зоны Бриллюэна отмечена буквами БЗ.
© © © © © © ©
© © © © © © ©
© © © © © © ©
© © © © © © 0
Примитивная
ячейна
[/00]
Фиг. 118. Одна из плоскостей, проходящих через ионы кристалла хлористого натрия.
Показана примитигная ячейка.
модуляции по направлению смещения атомов. Это характерно для продольной моды. Такая модулированная поляризация приводит к накоплению заряда и к увеличению частоты благодаря тому же самому электростатическому сопротивлению деформации, которое вызывает плазменные осцилляции электронного газа. При распространении поперечных оптических мод накопления зарядов не возникает п поэтому при низких частотах эти моды вырождены. Отметим, что это отличие поперечных и продольных мод не сохраняется при <7 = 0. Дисперсионные кривые в этой точке имеют особенность, связанную с дальнодействующим характером кулонов-ского взаимодействия. Чтобы понять природу этой особенности, рассмотрим уравнения модели силовых постоянных с отброшенными членами кулоновского взаимодействия. Решая их, получаем те же моды колебаний, что и в случае неионных кристаллов. Рас-
