Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
и решение уравнения (4.18) существует лишь при обращении в нуль детерминанта этой матрицы. Этот детерминант вычисляется тривиально, и, как легко видеть, условие
(4.17)
и уравнение (4.16) можно представить в виде
2[A4w(<*) + ewI бг/ = 0.
(4.18)
j
1 0 0 0 0 м,„ о
0 10 0 0 м2„ о
0 0 1 о о ..........
0 О 0 1 о ..........
М + Г= 0 0 0 0 1 Мщ-ип ..
............................. 1 + мпп о
........................... М,п+1>н 1
(4.19)
о
Det (М-Н) = 0
\V 3. Локализованные моды
431
сводится к уравнению
1 4" Мпп = 0.
Вычисляя Мпп с помощью выражения (4.17), в котором
п (i)2 6Л4
с"п таг*
получаем
(4-20)
«
Если бы, например, элементы Ctj были отличными от нуля для шести значений i и /, то условие обращения в нуль детерминанта свелось бы к обращению в нуль детерминанта матрицы шестого порядка. Во всяком случае, описываемый подход позволяет свести задачу к проблеме, в которой число степеней свободы сравнимо с числом изменяемых силовых постоянных и масс, что и было основной целью этого подхода. Более того, в рамках модели силовых постоянных этот подход является точным, так как не требуется, чтобы изменения параметров были малыми.
Освободимся, наконец, от использовавшихся нами сокращенных векторных обозначений. Единичный вектор S (q) определяет направление поляризации для моды с волновым вектором q. Выражение S (q) S* iq) есть оператор проектирования любого вектора (в данном случае вектора 6г„) на направление, параллельное вектору S (q). Поэтому в декартовых координатах матрица S (q) S*(q) имеет матричные элементы St (q) S* (q), где, например, S( есть проекция вектора S на i-ю ось. Аналогично единица в уравнении (4.20) сокращенно обозначает Расписывая уравнение (4.20) по компонентам, получаем
в,,.
Для точного решения этого уравнения необходимо знать частоты и поляризации всех нормальных мод идеального кристалла. Тогда, решая уравнение, найдем нормальные моды для кристалла с дефектами. Если дефект в кубическом кристалле также имеет кубическую симметрию, то в рассматриваемом уравнении сумма по направлениям q также должна иметь кубическую симметрию, т. е. она должна быть кратна единичной матрице 8у. При любых значениях (и и i эта сумма должна быть равна 1/3 выражения, полученного заменой St (q) Sj (q) на 1. Таким образом, в случае кубической симметрии получаем
1
432
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Характер решений.уравнения (4.21) легко выяснить, представив зависимость от со его левой части (мы обозначаем ее через 2) в виде графика. Функция 2 (со) имеет полюсы в точках щ, соответствующих собственным частотам идеального кристалла. Если со больше
Ф м г. 121. Схематическое изображение зависимости ? от частоты ш. Верхняя часть фигуры 1— для случая тяжелой примеси, нижняя — для легкой. На фигуре использованы лишь I I различных частот для 3,V мод идеального кристалла. Решения при наличии примесей определяются условием 2 = 1. Отметим, что в случае легкой примеси от наибольшей частоты «»зу отщепляется частота *>з у. находящаяся выше зоны и отвечающая локальной моде.
наивысшего значения <ля, то каждый член суммы отрицателен. На фиг. 121 верхняя кривая соответствует случаю 8М > 0. Так как уравнение (4.21) зависит лишь от с»3, мы приводим график лишь для положительных значений to. Отметим, что 2 = 1 при значениях со, лежащих чуть ниже частот каждой из невозмущенных мод. Таким образом, увеличение массы атома приводит к неболь-
§ 3. Локализованные моды
433
шому уменьшению частоты каждой моды, но это уменьшение всегда меньше, чем разность между частотами данной моды и ближайшей к ней моды с меньшей частотой. Это напоминает результат, полученный выше в связи с вычислением фаз: возмущающий локальный потенциал слегка сдвигает каждое собственное значение энергии. В данном случае, однако, ни одно из состояний не опускается ниже края полосы разрешенных частот, так как полоса доходит до нулевой частоты. Моду с нулевой частотой (трансляция решетки как целого) данное вычисление не дает, так как значение 2 при © = 0 не определено.
В нижней части фиг. 121 изображен график для 2 (со) при 8М < 0. Мы видим, что при меньшей массе примесного атома каждая частота слегка увеличивается. И в этом случае для всех мод, кроме наивысшей, сдвиги очень малы — не больше примерно <i>3N/3N. Однако сдвиг наивысшей моды может быть очень большим. Таким образом, в случае легкого дефекта локализованная мода может выйти за пределы непрерывного спектра. То, что легкая масса может привести к появлению локальной моды, а тяжелая не может, физически очевидно. Легкий атом может колебаться сам по себе, в основном не возмущая окружающую среду, тогда как тяжелый атом неизбежно увлекает за собой окружающие атомы. Отметим также, что в случае дефекта, сохраняющего кубическую симметрию решетки, обсуждаемая локальная мода должна быть трехкратно вырожденной — три моды с взаимно перпендикулярными амплитудами должны иметь одинаковые частоты.
Частоту локальной моды можно найти с помощью уравнения (4.21). Так как при ©> й>злг выражение под знаком суммы не имеет особенностей, то, введя плотность состояний п (со), можно заменить сумму по q на интеграл по со. Тогда уравнение (4.21) можно переписать в виде
