Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Эго выражение очень громоздко, но всю содержащуюся в нем информацию можно задать, просто перечисляя индексы занятых состояний кц k2 k N и соблюдая правильный порядок их следования. Поэтому для этого состояния можно употреблять сокращенное обозначение. Обычно его записывают в виде
Здесь символ | 0) обозначает вакуумное состояние, а оператор ct., который добавляет одну частицу в состояние kj, называется оператором рождения. Поскольку это выражение включает всю информацию о состоянии, содержащуюся в детерминанте Слэтера, зная одно представление, можно получить другое.
Свойства операторов рождения можно изучить, используя известные свойства детерминанта Слэтера. Например, известно, что при перестановке любых двух строк в детерминанте знак волновой функции меняется. Отсюда немедленно вытекают коммутацией-
%i(ri) Ф*1 (*i) ••• (*лг)
'Mfi) ?*.(**) ••• (r.v)
y = ?*!(*)
VhN ы
(4.23)
448
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
ные соотношения между операторами рождения, выражающие антисимметрию волновой функции:
сЫ2 + ctfti = 0. (4.24)
Отсюда следует, что если какое-либо состояние встречается в выражении (4.23) для волновой функции более одного раза, то волновая функция равна нулю. Эго очевидно, если одинаковые операторы рождения расположены рядом, в противном случае их можно поставить рядом, последовательно переставляя один из операторов с помощью соотношения (4.24). Такой факт, разумеется, вытекает и из представления волновой функции в виде детерминанта Слэтера и является прямым следствием принципа Паули.
Кроме того, мы знаем, что детерминант Слэтера определяет нормированную волновую функцию. Для нормировки состояний в представлении вторичного квантования достаточно ввести комплексно сопряженную волновую функцию
— (01 CftjCftgC/tg ... Oijy
и потребовать, чтобы выполнялись условия
“1“ Chichi — 0,
С ft “Т” Cftvpfti =
с* | 0) = 0,
(0\ct = 0,
(010) = 1.
Тем самым мы ввели операторы уничтожения Отметим, что порядок следования индексов в комплексно сопряженной волновой функции заменен на обратный.
С помощью выписанных коммутационных соотношений можно легко проверить, что построенные многочастичные состояния ортонормированы. Нормировочный интеграл можно записать в виде
(У, ?) = (01 chich2 ... c^ct^ct^ ... с1гсЪ 10).
Заметим, что из-за обратного порядка следования операторов в сопряженной волновой функции операторы рождения и уничтожения состояния kw стоят рядом. Переставляя их, получаем член
1 — ctNCi,y-
Члену с единицей соответствует нормировочный интеграл для состояния, в котором число электронов на единицу меньше (т. е. действие оператора CkN свелось к уничтожению электрона в состоянии к у.) Переставляя оператор CkN направо до тех пор, пока он не достигнет вакуумного состояния | 0), можно показать,
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
449
что второй член, содержащий ctNckN, равен нулю. Продолжая эту процедуру «свертывания» операторов рождения и уничтожения, мы в конце концов получим условие нормировки
(Т|*Н<0|0>=1.
Если в правой (или в левой) волновой функции имеется состояние, не содержащееся в левой (или в правой) волновой функции, то, переставляя соответствующий оператор влево (или вправо), пока он не достигнет вакуума, и учтя, что
<01 ch, = cht 10) = 0,
мы убедимся, что такие состояния ортогональны.
Пока мы определили лишь способ записи многоэлектронных состояний. Покажем теперь, каким образом в этом представлении выражаются квантовомеханические операторы. Можно убедиться, что каждое из вводимых ниже определений и соотношений совершенно эквивалентно соответствующим определениям и соотношениям, выраженным на языке детерминантов Слэтера. Для установления этой эквивалентности достаточно просто аккуратно провести все выкладки с детерминантами. Здесь мы ограничимся тем, что сформулируем необходимые правила обращения со вторично квантованными операторами.
Состояния, обозначенные индексом kj, являются собственными состояниями электронного гамильтониана $?е, отвечающими значению энергии ек(. Вторично квантованное выражение для гамильтониана имеет вид
сШе=^гкс1ск. (4.25)
ft
Нетрудно найти средние значения этого гамильтониана по многочастичным собственным состояниям. Пользуясь коммутационными соотношениями, как это делалось при вычислении нормировочного интеграла, легко показать, что среднее значение гамильтониана равно просто сумме значений энергий ек всех занятых состояний.
Если возникает необходимость в учете потенциала V (г), действующего на каждый электрон, то его можно представить во вторично квантованном виде
V(r)= 2 (к' | V | к) фск (4.26)
ft
и добавить к 36 е- Здесь числа (к' | V | к) — это матричные элементы потенциала между одноэлектронными состояниями
(k'|V|k)= j Ч*. (г) V (г) ф„ (г) (Рг. (4.27)
Диагональные члены, соответствующие к' = к, можно просто добавить к невозмущенным значениям энергии ек. Недиагональные
29-0257
450
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
матричные элементы связывают многоэлектронные состояния, отличающиеся лишь состоянием одного из электронов. Знак интеграла в (4.27) указывает не только на интегрирование по пространственным координатам, но и на суммирование по спиновым координатам. Однако, поскольку потенциал V (г) не зависит от спинов, матричный элемент отличен от нуля лишь для состояний кик' с одинаковыми значениями спинов, т. е. связываются лишь состояния с одинаковыми спинами.
