Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Такие процессы рассеяния можно представлять себе как взаимодействие с колебаниями решетки, сопровождаемое брэгговскими отражениями на периодическом потенциале решетки. Однако важно помнить, что отсюда вовсе не следует, что эти процессы идут во втором порядке теории возмущений. Амплитуда рассеяния пропорциональна только первой степени псевдопотеициала и никаких энергетических знаменателей нет.
Нормальное рассеяние и рассеяние с перебросом принципиально не отличаются друг от друга. Различие между ними становится весьма существенным лишь в длинноволновой области. При воз-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
445
растании волнового числа фонона мы продолжаем называть рассеяние нормальным до тех пор, пока волновое число не достигнет грани зоны Бриллюэна. Электронные состояния будем задавать с помощью схемы приведенных зон, а колебания решетки — с помощью схемы периодических зон. Тогда при дальнейшем увеличении волнового числа, когда соответствующий ему вектор выходит за пределы зоны Бриллюэна, поляризация волны изменяется
Фиг. 127. Рассеяние с перебросом в том случае, когда состояния электрона определяются в представлении периодических зон, а состояния решетки — в представлении приведенной зоны.
непрерывно. Точно так же непрерывно изменяется электрон-фононное взаимодействие. Однако обычно принято представлять такое состояние системы с помощью приведенной зоны и вместо волнового вектора фонона Q, лежащего вне зоны Бриллюэна, принято приписывать фонону то значение сателлита вектора обратной решетки, которое при увеличении волнового числа вошло внутрь зоны Бриллюэна. С физической точки зрения никакого разрыва непрерывности не происходит. Этот разрыв возникает лишь вследствие принятого нами соглашения.
В случае одновалентных металлов иногда удобно для описания рассеяния с перебросом пользоваться схемой приведенных зон для колебаний решетки и схемой периодических зон для электронов, как это указано на фиг. 127. При этом говорят, что фонон
446
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
с волновым вектором Q (который по соглашению должен находиться внутри зоны Бриллюэна) может либо перевести электрон из одного состояния внутри первой зоны Бриллюэна в другое состояние в этой же зоне (нормальное рассеяние), либо же он может перебросить электрон из одной зоны Бриллюэна в другую (рассеяние с перебросом). Так как ферми-поверхности в различных зонах Бриллюэна определяют эквивалентные представления одних и тех же состояний, то такие процессы с перебросом можно опять выразить в терминах рассеяния внутри одной зоны Бриллюэна. Мы выясняем при этом одну важную особенность рассеяния с перебросом: оно имеет место лишь в том случае, когда волновой вектор равен или больше наименьшего расстояния между соседними поверхностями Ферми. Поэтому при достаточно низкой температуре, когда возбуждены лишь длинноволновые моды, процессы рассеяния с перебросом «вымерзают». Оказывается, однако, что, например, для натрия такое наименьшее значение волнового вектора равно лишь примерно 20% радиуса зоны Бриллюэна и рассеяние с перебросом доминирует даже при гелиевых температурах.
2. Вторичное квантование
В предыдущем разделе при обсуждении электрон-фононного взаимодействия мы задавали смещения атомов решетки и затем вычисляли возникающий потенциал, действующий на электроны. Это составляет основу классического рассмотрения колебаний решетки. Когда мы вычисляли вклад колебаний решетки в удельную теплоемкость, оказалось, что удобно и даже необходимо про-квантовать гамильтониан, полученный в рамках классического подхода. Также удобно, а иногда и необходимо провести аналогичное квантовомеханическое рассмотрение электрон-фононного взаимодействия. В частности, это необходимо для построения микроскопической теории сверхпроводимости. Поэтому мы сейчас проведем последовательное квантовомеханическое описание электронных и колебательных состояний системы, включая электрон-фононное взаимодействие.
Основу квантовомеханического описания составляет построение волновой функции системы, зависящей от координат ионов и электронов. В качестве координат ионов мы, конечно, используем амплитуды колебаний, или нормальные координаты. При отсутствии электрон-фононного взаимодействия гамильтониан состоит из двух членов
Первый член зависит лишь от координат электронов, а второй — лишь от нормальных координат решетки. В этом случае волновую функцию системы можно представить в виде произведения элек-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
447
тронных волновых функций и волновых функций колебаний решетки. Мы сначала построим такие волновые функции, а затем включим электрон-фононное взаимодействие <$??•„, которое зависит как от координат электронов, так и от координат колебаний решетки и, таким образом, связывает различные невозмущенные состояния.
Электронные состояния. В нерелятивистской квантовой механике использование для электронных состояний представления вторичного квантования сводится к простому изменению обозначений. Мы начнем с описания состояний в одноэлектронном приближении. В этом случае нам известны все одноэлектронные состояния, которые определим заданием значений волнового вектора к(, k2, .... Эти состояния можно получить, решая уравнения Хартри-Фока (2.14), описанные в п. 2 § 3 гл. II. В каждом состоянии может находиться один электрон, спин которого направлен вверх, и один электрон со спином, направленным вниз. Договоримся, что индекс к{ задает не только значение волнового вектора рассматриваемого электрона, но и его спиновое состояние. Если N электронов занимают состояния ki, k2 kjv, то, как показано в п. 2 § 3 гл. II, многоэлектронную волновую функцию можно записать в виде детерминанта Слэтера
