Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
437
построения электрон-фононного взаимодействия в достаточной мере стандартизована и обычно не возникает никаких неоднозначностей.
I. Классическая теория
Ионные кристаллы. Самым сильным и, вероятно, самым простым является электрон-фононное взаимодействие между продольными оптическими модами и электронами в ионных кристаллах. В таких кристаллах (для определенности можно рассматривать хлористый натрий) положительные и отрицательные ионы в продольных модах при больших длинах волн смещаются в противоположных направлениях. Для упрощения обозначений пренебрежем различием амплитуд колебаний положительных и отрицательных ионов, что оправдано, поскольку в окончательный ответ входит лишь разность векторов этих амплитуд. Положим
6г| = — ул
бгг=-------
VjV
Для продольной моды векторы и и q параллельны. При больших длинах волн можно пренебречь разностью координат ионов, входящих в одну и ту же примитивную ячейку, и записать дипольный момент в виде
2 Ze
1/.V
где Ze — заряд каждого иона. Таким образом, при больших длинах волн величина дипольного момента на единицу объема (поляризация) определяется выражением
р ч
йс Vn
где Яс — объем ячейки. Плотность локального заряда равна взятой со знаком «минус» дивергенции поляризации. Зная плотность заряда, можно с помощью уравнения Пуассона вычислить электростатическую потенциальную энергию. Таким образом, мы получаем выражение для электронного потенциала
V (г) — —8.TZe .(’q.uei(<; r-tot).
q2Qc у .V
В данном случае потенциал V (г) называют электрон-фононным взаимодействием. Отметим, что он обращается в бесконечность при стремлении q к нулю. Таким образом, в этом случае мы имеем
438
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
сильную связь, и обсуждавшиеся выше сильные поляронные эффекты в ионных кристаллах связаны именно с этим характером зависимости взаимодействия от q.
Подобная расходимость не появляется для поперечных оптических мод, в которых не происходит накопления зарядов. Аналогично в длинноволновых акустических модах соседние заряды движутся примерно в фазе и поэтому сильное электростатическое взаимодействие возникнуть не может. Только в пьезоэлектрических кристаллах, в которых однородные или медленно меняющиеся деформации вызывают появление электрической поляризации, возникает электростатическое взаимодействие с акустическими модами. В этом случае электрон-фононное взаимодействие можно выразить через пьезоэлектрические константы [5, 6]. Расходимость этого взаимодействия при больших длинах волн слабее, чем в случае оптической моды.
Полупроводники. В неполярных полупроводниках, таких, как германий и кремний, эффектов поляризации нет, и для установления вида электрон-фононного взаимодействия необходимо более подробное исследование. И в этом случае основную роль обычно играют длинноволновые моды колебаний. Свободные электроны и дырки преимущественно скапливаются в небольших областях пространства волновых векторов, расположенных вблизи краев зоны, и рассеяние электронов сопровождается излучением главным образом длинноволновых фононов. Рассмотрим сначала взаимодействие с продольными модами, которое обычно описывается с помощью потенциала деформации.
Рассмотрим энергетическую зонную структуру, в которой максимум валентной зоны и минимум зоны проводимости расположены, как показано на фиг. 124. Зоны, изображенные в левой части фигуры, были получены обычными зонными расчетами при нормальном атомном объеме. Если кристалл растянут, так что относительное изменение его объема определяется объемным расширением Л, то зоны слегка изменяются, как это указано в правой части фиг. 124. Следует отметить, что в действителькости расчеты в зонном приближении позволяют определить лишь изменение ширины запрещенной зоны, т. е. разность между сдвигами каждой из зон, поскольку начало отсчета энергии в зонных расчетах несколько произвольно. Однако величины самих сдвигов в принципе можно вычислить, рассматривая вместо однородного расширения пространственно-неоднородное расширение. Таким способом можно получить самосогласованное решение этой задачи. Для наших целей указанное обстоятельство несущественно, поскольку значения сдвигов зон обычно считают заданными параметрами, определяемыми из эксперимента. Энергетические сдвиги экстремумов зон зависят от объемного расширения А, вообще говоря, линейно, и коэффициент пропорциональности называют константой
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
439
потенциала деформации:
bVc = 0СД. 6 V0 = D0b-
Таким образом, энергия электрона, находящегося, скажем, на дне зоны проводимости, сдвигается на величину, пропорциональную
Фиг. 124. Искажение валентных зон и зоны проводимости полупроводника, вызванное однородным растяжением кристалла.
объемному расширению Д. Предположим теперь, что и пространственно-неоднородное расширение определяет эффективный потенциал, действующий на электрон и зависящий от его положения:
6VC (г) = ЦД (г), 6Vv (г) = D,Д (г).
Разумеется, эффективные потенциалы, действующие на электроны, находящиеся не в экстремумах зоны, несколько отличаются от указанных значений. Однако для электронов, находящихся вблизи дна зоны, мы будем пользоваться значениями констант, вычисленными в минимуме зоны.
