Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
?“т71 с'с‘ 10)-I-т?!^1 °>-
Эго состояние, очевидно, антисимметрично и нормировано. Индексы k теперь относятся к любой полной ортонормированной системе
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
453
функций, зависящих от координат отдельного электрона. В качестве таких функций можно взять собственные состояния гамильтониана Хартри — Фока, но, вообще говоря, использовать одноэлектронное приближение не обязательно. Выражение (4.31) задает многоэлектронное состояние в самом общем виде.
Конкретный вид функций, по которым производится разложение состояний, не играет существенной роли. Более того, их можно вообще исключить из рассмотрения, если ввести операторы электронного поля
Ф W = 2 % (О Cft,
(4-32)
Ф+ (г) = 2 Ф* (г) 4-
А
Коммутационные соотношения для полевых операторов вытекают из коммутационных соотношений для операторов рождения и уничтожения. Они имеют вид
Ф(г)Ф(г')+Ф(г')Ф(г)=0,
Ф+ (г) Ф+ (г') +Ф+ (г') Г (г) = 0, (4.33)
Ф+ (г) Ф (О + ф (г') ф+ (г) = б (г - г').
Последнее соотношение следует из определения дельта-функции /(«•)={ /(r')6(r-r')dV.
Чтобы показать, что
2 Ф* (г) Фа (О = в (г-О.
А
достаточно вычислить интеграл
J 2 Фа (г) Ф* (г') f (г') dV = 2 ( j Ф? (О f (О <?'’) Фа (г) •
к k
Интеграл в правой части этого равенства, очевидно, равен ?-му коэффициенту в разложении функции / (г) по полной ортонормирован-ной системе функций фЛ.
Полевые операторы очень удобны для записи гамильтониана и других операторов, представляющих наблюдаемые величины, хотя даже при использовании этого формализма для записи состояний могут понадобиться операторы ск и с*. Например, оператор электронной плотности можно представить в виде
Р(г) = Ф+ (г)Ф(г).
Действительно, воспользовавшись определениями (4.32), нетрудно проверить, что среднее значение этого оператора по любому много-
454
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
электронному состоянию вида (4.31) равно среднему значению электронной плотности в точке г. Пользуясь этим определением электронной плотности, можно также убедиться, что оператор ф+ (г) порождает электрон в точке г. Для этого достаточно подействовать оператором ф+ (г) на вакуум. Подействовав на получившееся в результате состояние оператором плотности и воспользовавшись соотношениями (4.33), легко проверить, что при этом получается произведение б (г) на исходное состояние. Обычно мы не будем использовать такие состояния, как •ф+ (г) | 0). Одна из причин этого состоит в том, что разложение такого состояния по состояниям с определенной энергией содержит компоненты, отвечающие всем возможным значениям энергии. Таким образом, несмотря на удобство использования полевых операторов для записи операторов, соответствующих наблюдаемым величинам, для задания состояний мы обычно будем пользоваться операторами рождения и уничтожения.
Оператор потенциальной энергии можно представить в виде
V (г) V (г) гр (г).
И в этом случае можно проверить, что среднее значение этого оператора по любому многоэлектронному состоянию равно среднему значению потенциальной энергии электронов в точке г. Чтобы найти величину полной потенциальной энергии электронов, это выражение нужно проинтегрировать по г. В более общем случае, когда гамильтониан включает кинетическую энергию электронов и одноэлектронный потенциал V (г), оператор гамильтониана можно записать в виде
J (г) (4.34)
Чтобы включить взаимодействие между электронами, достаточно добавить к этому выражению член
Velel = -у J J *r cPr'^* W (г') |г-г'| ф (г') ? W' (4-35)
Гамильтониан, выраженный через полевые операторы, обычно не используют в шредингеровском представлении, но нетрудно убедиться в том, что это вполне возможно. Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана (4.34) можно представить в форме (4.31), причем сумма содержит лишь члены, соответствующие единственному значению п, а индексы к обозначают собственные состояния одного электрона. Можно проверить, что функция 36 равна функции Y, умноженной на константу, равную сумме энергий всех занятых состояний. Если включить взаимодействие между электронами (4.35), то собственные состояния гамильтониана будут определяться выражением (4.31) с бесконечным числом членов
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
455
в сумме. Можно показать, хотя это и не столь просто, что действие оператора <$?„ + Veiei на собственное состояние V гамильтониана, включающего взаимодействие между электронами, равно произведению собственного значения полной энергии на то же самое состояние У.
При записи взаимодействия между электронами в форме (4.35) введение приближения самосогласованного поля сводится к замене члена с четырьмя полевыми операторами на член с двумя полевыми операторами. Для этого вместо двух других операторов в выражении (4.35) берется их среднее значение. Например, среднее значение (ф+(г')ф (г')> произведения операторов ф+(г') ф (г') по многоэлектронному состоянию отлично от нуля, и в действительности оно равно среднему значению электронной плотности в точке г'. Напомним, что среднее значений получается посредством исключения операторов рождения и уничтожения после разложения операторов ф+ и ф по формулам (4.32). Это среднее значение, конечно, зависит от координат. Таким образом, в гамильтониан самосогласованного поля включается член вида
