Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления проводимости в полупроводниках необходимо выполнить суммирование по занятым состояниям, учитывая при этом зависимость времени рассеяния от энергии. Мы получим выражение для проводимости в виде
УУе«т т '
где т есть надлежащим образом усредненное значение т из (4.54). Усреднение фактора l/k по температурному распределению дает дополнительный множитель (/С7’)-1/*, и мы (предполагая, что N не зависит от Т) находим окончательно, что проводимость пропорциональна Т~*/2. Такая зависимость наблюдалась в германии п-типа, но в германии р-типа и в кремнии проводимость падает с ростом температуры более круто; по-видимому, это можно объяснить наличием других механизмов рассеяния, связанных, например, с оптическими модами колебаний или с ионизованными примесями (см., например, 19]).
Вычисление времени релаксации в металлах при низких температурах также очевидно. В этом случае
1
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
469
Тогда для вычисления величины 1/т в выражениях (4.54) достаточно заменить фактор КТ на ngftw. При этом интегрирование по углу не изменяется, а интеграл по q приобретает вид
2 А
1 Qq fti Г * , л4 i 1 \
T==~4n'h3~M^' J nVt(f \ hvq/KT 0 e
Введем новую переменную интегрирования
.. fa>,ч КТ
и заменим при низких температурах верхний предел интегрирования
2 hkot X— КТ
иа бесконечность. Тогда получим
1 Qo D* m (КТ)* 7 x*dx
т 4л Ь* MvJ*» (ft»*)* J в*—1 '
о
Характерной особенностью найденного результата является его пропорциональность Т6. Такая зависимость наблюдалась при низких температурах для многих металлов. При низких температурах возбуждаются лишь фононы с достаточно малыми значениями q. При переходе от переменной q к безразмерной переменной х каждый множитель q дает одну степень Т. Этот расчет совершенно аналогичен вычислению удельной теплоемкости при низких температурах, которая, как мы показали ранее, пропорциональна Т3.
Собственная энергия электрона1). Обратимся к проблеме вычисления собственной энергии электрона, возникающей благодаря его взаимодействию с колебательными модами системы. Изменение энергии всей системы, вызываемое электрон-фононным взаимодействием, можно вычислить по теории возмущений:
?-?,+(di^io)+s^0|^;^|0> •
п
Здесь 10) — состояние электрон-фононной системы, в которой взаимодействие между электронами и фононами выключено, т. е. в большинстве рассуждений — основное состояние. Такие состояния, а также вакуумное состояние обычно обозначают символом |0>. Член первого порядка обращается в нуль, и мы сосредоточим внимание на члене второго порядка. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением состояний при нулевой температуре. Тогда в состоянии |0 ) нет фононов ни в одной из мод. Поэтому
*) Более полное обсуждение этого вопроса можно найтн в сборнике [10].
470
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
во второй матричный элемент дает вклад лишь член а*, а в первый матричный элемент — лишь член а. Таким образом,
Шеч | 0) = 2 д,1/, O-qpk+qph | 0).
9. *
Каждый член в этой сумме соответствует определенному промежуточному состоянию. Фактически каждый член суммы равен соответствующему промежуточному состоянию | я), умноженному на некоторую постоянную. Таким образом, выражение для энергии до члена второго порядка включительно можно представить в виде
с С I 1 w a-qFhch+qa-<fi+<fh I ^5^9
еА-е*+,-Лш,
9. k
Каждому члену этой суммы можно сопоставить некоторый процесс рассеяния. Точнее говоря, каждому члену соответствует переход электрона из состояния с волновым вектором к в состояние с волновым вектором k + q, при котором испускается виртуальный фонон; этот фонон затем поглощается, а электрон переходит в начальное состояние. Это просто наглядный способ представления членов ряда теории возмущений, которые математически корректно определены независимо от всяких наглядных представлений.
Фононные операторы коммутируют с электронными, поэтому их можно поставить рядом и воспользоваться тем, что для основного состояния
a.,aig|0) = |0>.
Аналогично, дважды меняя знак, можно переставить оператор сА с произведением ck+qct+q. В результате получим, что матричный элемент равен просто я* (1 — яЛ+9), где nh — числа заполнения соответствующих состояний. Таким образом,
Е = Е0 + -1 S . (4.55)
0 N ек-еА+,-Аш9 ' '
9. к
Вычисленный сдвиг энергии основного состояния не представляет интереса. Однако если мы построим возбужденное состояние, поместив вне сферы Ферми дополнительный электрон с волновым вектором к0 (фиг. 129), то представляет интерес зависимость собственной энергии такой системы от к0. Сдвиг в величине dE/dk0, вызванный взаимодействием с фононами, непосредственно определяет сдвиг плотности возбужденных состояний на единицу энергии и сдвиг скорости электрона.
При добавлении электрона с волновым вектором ко необходимо изменить выражение для энергии (4.55). Во-первых, возникают дополнительные члены, соответствующие импульсам к = ко
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
471
и к' = к + q, лежащим вне сферы Ферми. Во-вторых, из выражения (4.55) необходимо вычесть члены, отвечающие состояниям, для которых k + q = к0. а вектор к лежит внутри сферы Ферми. Поэтому изменение энергии при добавлении одного электрона равно
