Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
ЛС//.Ч— h%kl I 1 V 1 V
О?(*о)- 2m +jv 2j eft#—в*—Лш N 2l e*—eft0 —Лш *
(4.56)
где мы взяли за энергию нулевого приближения кинетическую энергию электрона и опустили штрих у к' в первой сумме. Эти
Фиг. 129. Электронный газ в основном состоянии при наличии еще одного занятого возбужденного состояния.
суммы можно вычислить, заменив суммирование на интегрирование. Оказывается, что суммы, описывающие взаимодействие, примерно сокращаются, когда импульс ко приближается к поверхности Ферми. Действительно, объединяя оба интеграла по | к |, мы видим, что при малых значениях %<о их сумму можно приближенно заменить главным значением интеграла по всему интервалу значений | к j. Отсюда получаем, что относительная поправка к энергии Ферми равна (по порядку величины) отношению квадрата формфактора к квадрату энергии Ферми, т. е. порядка 1%.
Покажем, однако, что при удалении к0 от поверхности Ферми изменение энергии может стать весьма большим. Соответствующее вычисление проще всего выполнить в два приема. Пусть сначала к0 находится на поверхности Ферми. Увеличим кп и kF на одну и ту же бесконечно малую величину. Когда вектор к0 лежит на* поверхности Ферми, поправка к собственной энергии электрона, как указано выше, очень мала, и мы можем на этом этапе пренебречь изменением собственной энергии. Следующий шаг состоит в том, что мы стягиваем сферу Ферми в исходное положение и вычисляем возникающее при этом изменение собственной энергии. Как видно из выражения (4.56), изменение kF сказывается лишь на пределах интегрирования. Поэтому бесконечно малому приращению энергии Ферми dkF соответствует изменение собственной энергии, которое
472
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
выражается через произведение dkP на поверхностный интеграл, взятый по всей поверхности Ферми. Таким образом, добавка к первой сумме имеет вид
. 1 Vt-ho^h-ho 1 Я j j. I Г
“ N ZJ 8ко-еА-Л<в N рл)»!"**1] г^-ек-Ат ‘
k>kp
Здесь все волновые векторы лежат на поверхности Ферми, так что энергетический знаменатель равен просто — йо>, а матричные элементы совпадают с матричными элементами, через которые выражалось электронное рассеяние. Такой же вклад дает вторая сумма, и окончательно получаем
db Яо г м ,7.
dkо ~ т 4яЗ J Ат * ^
Из (4.57) следует, что порядок величины относительного изменения производной dbE (k0)/dk0, а значит, и относительного изменения скорости Ферми определяется отношением квадрата формфактора к средней энергии фонона, умноженной на энергию Ферми. Это отношение может достигать весьма большой величины; так, для свинца оно оказывается порядка 2. Мы видим, что сдвиг отрицателен и, следовательно, плотность возбужденных состояний возрастает. Как отмечалось в п. 6 § 5 гл. II, наблюдаемые большие отклонения масс, определяемых из измерений удельной теплоемкости, от электронной массы, по-видимому, объясняются именно этим эффектом. Причину уменьшения скорости электрона можно интерпретировать физически как следствие возбуждения виртуальных фононов, тянущихся за электроном.
Любопытно отметить, что отклонения скорости происходят на поверхности Ферми и поэтому изменяются при деформации поверхности Ферми. По этой причине изменение плотности состояний не влияет на парамагнитную восприимчивость Паули. Так как электрон-фононное взаимодействие не связывает состояний электрона с противоположно направленными спинами, мы можем вычислять собственную энергию электрона для каждого значения направления спина независимо. Когда включается внешнее магнитное поле, энергии Ферми для каждого из значений спина сдвигаются друг относительно друга, и поэтому собственно энергетические поправки сдвигаются, как указано на фиг. 130.
Эмктрон-электронное взаимодействие. Интересно отметить, что сдвиг энергии электронных состояний можно интерпретировать как результат некоторого эффективного взаимодействия между электронами. Такая точка зрения особенно полезна при рассмотрении сверхпроводимости. При выводе написанного выше выражения для энергии во втором приближении теории возмущений мы счи-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
473
тали, что в основном состоянии | 0) фононов нет. Так как выражение для энергии получается усреднением по этому состоянию, то операторы а и а* входят лишь в комбинации a.qa*q, для которой
0) = 10),
и вклад второго порядка можно представить в виде 1 v*v
?"’=т2<°1 10).
q, k
Это есть не что иное, как среднее значение некоторого оператора, содержащего два оператора уничтожения и два оператора рождения
Фиг. 130. Переходы электронов между спиновыми зонами, определяющие
парамагнетизм Паули.
Пунктирные линии представляют энергию как функцию волнового числа без учета собственно-энергетических поправок, сплошные линнн представляют энергию с учетом поправок. Заметьте, что эти поправки не изменяют числа переходов электронов.
электронов. Пока нас интересуют лишь переходы между состояниями, в которых фононы отсутствуют, операторы рождения и уничтожения фононов вообще не появляются. Полученный оператор имеет точно такой вид, как введенный нами раньше оператор электрон-электронного взаимодействия. Единственное отличие состоит в том, что константа взаимодействия теперь равна
