Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
486
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
ния не кажутся особенно обескураживающими. Кроме того, как показали недавние расчеты *), большая часть расхождений с экспериментом может быть ликвидирована благодаря более полному, чем это делалось раньше, учету обмена и корреляций.
3. Формула Бома — Стэйвера 2)
Есть два аспекта проблемы колебательных спектров, которые нам хотелось бы обсудить. Первый из них касается длинноволновых продольных колебаний. Эти колебания можно изучать так, как описано выше. В частности, мы могли бы также рассмотреть более подробно структурные факторы, отличные от нуля в точках-сателлитах узла q0 = 0. Однако интереснее проанализировать соответствующие моды независимо. Такой анализ как раз приводит к формуле Бома — Стэйвера для скорости продольного звука в металлах.
Длинноволновая продольная волна, распространяясь в кристалле, создает длинноволновой периодический потенциал. Мы определим его, непосредственно вычисляя смещения 8г:
«г. ”^'Г
VN '
где г, как и раньше, равновесные положения ионов. В продольной волне смещение параллельно Q. Объемное расширение, или дилатация, создаваемая такой волной, есть просто дивергенция б г, а соответствующая этой дилатации плотность заряда ионов равна взятому со знаком «минус» произведению дилатации на локальную плотность заряда, т. е. —Ze/Щ. Здесь снова Z — валентность иона, а &о — атомный объем. Таким образом, мы нашли длинноволновую компоненту плотности электростатического заряда ионов
— iZeQun __________e*w-r
й0 Т/УУ
и соответствующий электростатический потенциал
АяНеип
4ге'Ч-г.
QQqVn
Чтобы определить результирующую силу, действующую на данный ион, нужно умножить Ze на взятый с обратным знаком градиент этого потенциала; она равна
4 nZ2e2UQ ,п
___________ Ноy?v е* -г‘
*) См., например, работу [18], в которой проведен расчет для Mg в духе подхода, описанного в п. 5 § 4 гл. III.
*) В этом месте все традиционно ссылаются на статью [19], хотя сама формула впервые в явном виде появляется не в этой работе.
§ 5. Псевдопотенциалы и дисперсия фононов
487
Если бы на ион действовали только силы, создаваемые этим электростатическим потенциалом ионов, то они в свою очередь были бы равны произведению массы иона М на вторую производную от ид по времени. В этом случае частота колебаний не зависела бы от волнового вектора и равнялась бы просто частоте плазменных колебаний иона:
Это выражение в точности аналогично выражению для частоты плазменных колебаний электронов (3.37), только отношение сУт заменено на ZV/M.
Разумеется, в металле на ион действуют и другие силы. В частности, экранирование проявляется в том, что электростатический потенциал, а следовательно, и сила уменьшаются [в знаменателе появляется диэлектрическая функция е (q, <?>)]. Кроме того, возникают силы, связанные с псевдопотенциалом; интересно, однако, проследить, к чему приводит учет только одного экранирования. Мы рассмотрим статическую диэлектрическую функцию, которой, как легко показать, можно пользоваться в случае низких частот. В п. 3 § 4 гл. III было показано, что в длинноволновом пределе диэлектрическая функция равна 4ле2п (EF)lq*. Тогда частота соответствующей моды в системе с экранированием определяется выражением
Таким образом, мы видим, что если экранирование введено правильно, то частота меняется при Q -*? 0 по линейному закону. Этому дисперсионному соотношению отвечает хорошо определенная скорость звука. Эта скорость звука, найденная Бомом и Стэйвером, равна
Отметим, что ее можно выразить также в виде произведения множителя УZm/ЗМ на фермиевскую скорость электронов. Такая формула дает разумную оценку длинноволновой скорости звука во многих металлах и хорошо иллюстрирует физику происходящих процессов.
Второй аспект проблемы колебательных спектров, который мы хотели бы обсудить, касается поведения частот более коротковолновых колебаний. Мы уже отмечали, что первая производная диэлектрической функции логарифмически оасходится (стремится
2ZEfQ2 3 м
/2 ZeEp Ш
4. Коновские особенности {20]
488
Гл. /У. Колебания решетки и атомные свойства
к —оо), когда q = 2k F. Та же сингулярность проявляется и в характеристической функции; это особенно легко видеть из выражения (4.66) для локального псевдопотеициала. Диэлектрическая функция фигурирует в формуле (4.66) и в числителе, и в знаменателе, но наиболее сильную сингулярность дает числитель, так как в интересующей нас области диэлектрическая функция близка к единице. Стедовательно, появление при q — 2kF бесконечно большой отрицательной производной в е (q) приводит к бесконечно большой положительной производной в F (q). Это остается в силе и в том случае, если расчет проводится для полного нелокального псевдопотеициала.
Таким образом, когда при расчете колебательных спектров мы меняем Q в пределах зоны Бриллюэна, появляются, как легко видеть из (4.67), бесконечно быстрые изменения энергии зонной структуры каждый раз, когда величина | q0 ± Q I (для любого вектора обратной решетки qo) проходит через значение 2kF. Такие бесконечно быстрые изменения энергии зонной структуры в конечном итоге приводят к бесконечно быстрым изменениям частоты при изменении волнового вектора. Соответствующие аномалии в колебательном спектре получили названиеконовских особенностей. Физически они возникают из-за появления сингулярности в экранировании, когда одна из фурье-компонент проходит через значение волнового вектора д = 2kF и эффективность экранирования резко падает.
