Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
На дисперсионных кривых для данного металла может быть много коновских особенностей. Условием их появления снова является равенство
| Яо ± Q | = 2kF.
Мы можем найти соответствующие точки в обратном пространстве с помощью построения Кона. Приведенное выше условие означает, что конец вектора Q лежит на сфере радиуса 2kF с центром в узле обратной решетки. Следовательно, мы можем поступить почти так же, как при построении ферми-поверхностей свободных электронов, только радиусы сфер нужно увеличить вдвое. Иными словами, мы просто должны построить сферы вокруг каждого из узлов обратной решетки; для алюминия такое построение показано на фиг. 132.
Частота увеличивается бесконечно быстро, когда мы идем от центра сферы, и уменьшается при движении в обратном направлении. Легко видеть, что при движении по зоне Бриллюэна могут возникать соответственно как «аномалии вверх» (upward anomalies), так и «аномалии вниз» (downward anomalies). На фиг. 133 показаны наблюдаемые спектры колебаний алюминия и соответствующие кривые, рассчитанные с помощью локального псевдопотеициала с двумя параметрами, выбираемыми таким образом, чтобы получить
Фиг. 132. Коновское построение для алюминия.
Показано пересечение плоскости (110) в обратном пространстве (содержащей точку к = 0) со сферами, которым отвечают сингулярности. Изображено также сечение зоны Бриллюэна, в которой находятся волновые векторы, характеризующие колебания решетки.
2L
2м
Фиг. 133. Результаты расчета спектра колебаний в алюминии с помощью модельного потенциала (из работы [13]).
Параметры потенциала подбирались таким образом, чтобы в двух точках (указанных квадратиками) частоты колебаний совпадали с экспернментальнымн; экспериментальные точки взяты нз работы [311.
490
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
совпадение наблюдаемых и рассчитанных кривых в двух точках. На теоретических кривых для алюминия особенности еще можно
2>Т
Фиг. 134. Результаты расчета спектра колебаний в свинце с помощью модельного потенциала.
Экспериментальные точки взяты из работы [32]»
заметить, хотя на экспериментальных кривых они вряд ли различимы. Для свинца (фиг. 134) коновские особенности значительно сильнее.
§ 6. МЕЖАТОМНЫЕ силы и АТОМНЫЕ СВОЙСТВА *)
Расчет полной энергии системы при различных конфигурациях ионов можно, конечно, использовать для анализа широкого спектра свойств металлов. Колебания решетки — одно из таких свойств. Другая возможность, которая сразу же приходит в голову,— это сравнение энергии кристалла для разных кристаллических структур.
1. Стабильность металлических структур
В различных кристаллических структурах при постоянном объеме изменяются только электростатическая энергия и энергия
*) Вопросы, излагаемые в п. 1 и 2 настоящего параграфа, более подробно обсуждаются в книге [13]. (См. также статьи Хейне в книгах [33, 34].— Прим. ред.)
§ 6. Межатомные силы и атомные свойства
491
зонной структуры. Оказывается, что электростатические энергии наиболее часто встречающихся металлических структур — гранецентрированной кубической, объемноцентрированной кубической и гексагональной плотно упакованной (с идеальным отношением осей) — почти одинаковы. В любом случае электростатическая энергия непосредственно вычисляется. Расчет энергии зонной структуры для каждой заданной кристаллической структуры также довольно несложен. Нужно только построить обратную решетку, а затем вычислить сумму (4.65) по ее узлам. Функция F (q) убывает с ростом q довольно быстро, поэтому для получения хорошего результата достаточно просуммировать с помощью вычислительной машины по нескольким сотням узлов. При ручном счете, когда суммирование обрывается раньше, бывает важно улучшить сходимость [13]. Этого достигают, заменяя на больших расстояниях суммирование интегрированием.
Первая реальная попытка сравнения энергий различных кристаллических структур была предпринята в работе [21] для натрия, магния и алюминия. Перед этим впервые была определена функция F(q) для тех же металлов [строго говоря, еще раньше был проведен расчет для цинка, в котором использовалась довольно грубая функция F(q), полученная «вручную»]. Сравнивались энергии гранецентрированной кубической, объемноцентрированной и гексагональной плотно упакованной структур. Поскольку величина отношения осей с/а в гексагональной плотно упакованной структуре не определяется симметрией, необходимо было рассчитать энергию этой структуры для ряда значений da и выбрать то из них, которому отвечает минимум энергии. Результаты расчетов оказались удивительно хорошими. Было найдено, что как в натрии, так и в магнии наименьшей энергией обладает гексагональная плотно упакованная структура. При низкой температуре оба металла действительно являются гексагональными. Для алюминия наиболее энергетически выгодной оказалась гранецентрированная кубическая решетка, наблюдаемая при низких температурах. Интересно, что для гексагональных структур такие расчеты дают дополнительную информацию. В частности, как в натрии, так и в магнии значения с/а. отвечающие минимуму энергии, оказались близкими к наблюдаемым. Кроме того, из изменения энергии при изменении с/а можно непосредственно определить одну из упругих сдвиговых постоянных. Для магния вычисленная и найденная из эксперимента упругие постоянные оказались исключительно близкими: для натрия в гексагональной модификации соответствующие экспериментальные данные отсутствуют, но теоретическое значение можно считать вполне разумным.
