Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Для основного состояния системы фактор Дебая — Уолера можно представить в более удобном виде. В этом случае значение (6rj) определяется нулевыми колебаниями фононного поля. Для выполнения вычисления можно использовать приближение Дебая, разложив 6г0 по нормальным модам, каждая из которых находится в основном состоянии. Вычисления, однако, несколько упрощаются, если воспользоваться приближением Эйнштейна. При этом мы заменяем излучающее ядро гармоническим осциллятором с частотой о)?. Среднее значение кинетической энергии равно тогда
yAfcob(60,
среднее значение полной энергии равно просто
М&е (6rJ)
§ 5. Псевдопотенциалы и дисперсия фононов
479
и в основном состоянии совпадает с 1/2й<|>я. Выразив отсюда (6г* > через <оя и подставив полученное выражение в фактор Дебая — Уолера, для основного состояния найдем
е->/з<?2<в-;> _ е-1/зС'*(йшя/2.Ий>|;) = е-я/з/шв<
В последнем выражении мы воспользовались тем, что энергия ft*QV2М равна классической энергии отдачи R.
Мы показали, что излучение происходит преимущественно без отдачи, если классическая энергия отдачи мала по сравнению с наибольшей частотой фононов. Этот результат сохраняется и в приближении Дебая.
При возрастании температуры средний квадрат смещений увеличивается и вероятность излучения без отдачи уменьшается Точно так же, если ослабить связь ядра с кристаллическим окружением, уменьшив силовые постоянные, эйнштейновская частота уменьшается и вероятность отдачи возрастает. Как и предполагалось, вероятность излучения без отдачи не зависит от времени жизни возбужденного состояния ядра. Если мы выразим время распада через энергию отдачи, то оно окажется равным ft//?.
§ 5. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ И ДИСПЕРСИЯ ФОНОНОВ
Рассматривая колебания решетки, мы с самого начала ввели феноменологически совокупность констант взаимодействия между атомами. Соответствующие силы можно в принципе определить из уравнения Шредингера для электрон-ионной системы. Были предприняты попытки таких расчетов для кристаллов из атомов инертных газов, ионных кристаллов, простых металлов и полупроводников. Однако только для металлов такого рода расчет является в определенном смысле полным, поскольку в данном случае подход на основании теории псевдопотенциалов наиболее естествен. Сначала мы обсудим простые металлы и сформулируем в общем виде задачу о расчете свойств, зависящих от изменения полной энергии при изменении конфигурации ионов. Колебания решетки являются, конечно, одним из таких свойств.
Мы, как и раньше, будем рассматривать положения ионов с классической точки зрения. Определим координаты гj всех N ионов, построим соответствующий псевдопотенциал и вычислим сумму электронных энергий с помощью теории возмущений. Это даст нам один из вкладов в полную энергию системы, который, разумеется, будет зависеть от расположения ионов. Добавим теперь энергию прямого кулоновского взаимодействия между ионами и остальные недостающие члены. В результате мы получим полную энергию системы как функцию координат ионов. Этим выражением
480
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
можно было бы в принципе воспользоваться для определения силовых постоянных, которые мы ввели раньше при обсуждении фон-онных спектров. Однако оказывается более удобным использовать полученные нами выражения для полной энергии непосредственно.
Зная положения ионов и соответствующий псевдопотенциал, мы можем сразу вычислить энергию электронного состояния. Во втором порядке теории возмущений по псевдопотенциалу она равна
— кинетическая энергия. Из-за присущей теории неэрмитовости псевдопотеициала выражение (4.62) нужно было бы вывести заново. Однако это выражение оказывается правильным, причем матричные элементы псевдопотеициала должны входить именно так, как записано, а не через | (k + q | W | к > |2.
Мы хотим теперь найти сумму таких энергий по всем занятым состояниям. Во втором порядке теории возмущений по псевдопотенциалу достаточно для этого просуммировать поферми-сфере, которая существовала бы в отсутствие псевдопотеициала, и вычислить интегралы от плохо определенных функций в смысле главного значения. Такую процедуру можно обосновать [13]. При этом существенным является то, что искажение ферми-поверхности — второго порядка малости по псевдопотенциалу, а перераспределение электронов при замене сферы истинной ферми-поверхностью дает вклад в энергию первого порядка малости. Следовательно, полное изменение энергии имеет третий порядок, и в нашей теории, учитывающей все вклады до второго порядка включительно, им можно пренебречь. Таким образом, мы должны просуммировать выражение (4.62) по всем k < kF:
1. Полная энергия
?„ = еА-Нк|Г|к> + 2
<к|Г|к + д) (к+д | У | к) 8А 8А+д
(4.62)
Q
где
?tot= 2 8а Т 5(0) 2 <кМк> +
А<А F
Ас hp
<к | щ [ к+д) <к +д | ц|к)
+ 2 2s*(q)5(q)
®А—8 А+д
А<Ар д
Здесь мы, как обычно, представили матричные элементы псевдопотенциала в виде произведения структурных факторов и формфакторов.
§ 5. Псевдопотенциалы и дисперсия фононов________________481
Сумму кинетических энергий можно вычислить непосредственно. Структурный фактор в члене первого порядка равен единице. В члене второго порядка мы поменяем местами суммирование по q и по к. Теперь удобно записать результат в виде энергии на один ион (Z — число электронов на ион):
