Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
где г — положение центра массы ядра, а М (р) — функция внутренних координат ядра р. Такая зависимость от координат центра массы ядра диктуется законом сохранения импульса. Действительно, отделяя в волновой функции ядра координаты центра массы от относительных координат, можно представить ее в виде
Ф(Р) gih г
Уа '
Обозначив начальное и конечное состояния соответственно индексами i и f, запишем матричный элемент перехода в виде
</1 AfeiQ*r 11> = j ф* (p).e-ihi'rMeiCtrypi (р) eikfrdpdr =
Мы видим, что сохранение импульса выполнено. Энергетическая дельта-функция определяет уменьшение энергии фотона, компенсирующее энергию отдачи ядра.
Представим себе теперь, что положение ядра зафиксировано. Пусть, например, ядро находится в кристаллической решетке. Можно было бы предположить, что импульс отдачи уносится всей решеткой и поэтому энергия отдачи пренебрежимо мала. Однако с физической точки зрения это вовсе не очевидно. Например, если переход происходит очень быстро, то импульс отдачи будет унесен ядром прежде, чем оно успеет сместиться и провзаимодействовать с соседними ядрами. С другой стороны, если переход происходит очень медленно, то взаимодействие с соседними ядрами не позволит излучающему ядру сместиться, и импульс отдачи будет передан всему кристаллу. Как и при обсуждении принципа Франка — Кондона (см. п. 6 § 5 гл. III), проблема оказывается связанной со «скоростью» перехода, для определения которой необходимо полное решение задачи. Можно было бы наивно предположить,, что скорость перехода определяется временем жизни состояния, т. е. шириной линии излучения. Однако обсуждение, проведенное в п. 6 § 5 гл. III, подсказывает, что это неправильно.
М (р) eiQ г,
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
477
Вернемся к задаче об излучении, используя для описания решетки и излучающего ядра методы квантовой механики. Для определенности допустим, хотя результаты и не зависят от этого предположения, что спектр колебаний совпадает со спектром колебаний идеального кристалла. Соотношение (4.39) выражает гамильтониан решетки в виде суммы гамильтонианов гармонических осцилляторов:
<й?ф = 2 ("глГТ^‘41чи-ч) •
я
Здесь Uq — нормальные координаты, а смещение /-го атома равно
6fj=-^2?i5'r;. (4.59)
я
Вектор параллелен вектору поляризации рассматриваемой моды. Собственные состояния системы фононов определяются произведениями осцилляторных функций
Ф-П %(«.). (4.60)
ч 4
где nq — число фононов q-fi моды.
Выразим начальное и конечное состояния ядра через относительные координаты. Пусть излучает ядро, для которого / = 0, и в положении равновесия г0 = 0. Зависимость волновой функции системы от координат центра массы ядра бг0 определяется соотношениями (4.59) и (4.60). Матричный элемент перехода между начальным состоянием Ф^/ (р) и конечным состоянием Ф/F/ (р) имеет вид
(Ф/F/ (р) | М (р) ei(j-6'o | Фг?, (р)> = {V, | М | ?,•> (Ф/1 1 ф,).
(4.61)
Таким образом, в решетке матричный элемент перехода уменьшается на множитель, равный матричному элементу оператора e'Q йг<> между начальным и конечным состояниями фононов.
И в этом случае можно установить тесную аналогию с задачей об излучении света в F-центре, если заменить перекрытие сдвинутых волновых функций фононов на фононный матричный элемент, входящий в выражение (4.61). Как и в случае оптических переходов, полнота системы фононных волновых функций обеспечивает обращение в единицу суммы квадратов фононных матричных элементов по всем конечным состояниям. И в этом случае могут происходить переходы, в которых рождается или уничтожается различное число фононов. Можно показать, что среднее значение энергии, отдаваемой решетке, равно энергии, передаваемой изолированному ядру.
478
Гл. /V. Колебания решетки и атомные свойства
Однако возможны процессы излучения, в которых не рождаются фононы. Рассмотрим эту возможность излучения без отдачи более подробно.
Если нас интересует только вероятность излучения без отдачи, т. е. когда состояние фононов решетки не изменяется, нам достаточно найти матричный элемент (4.61) для одинаковых фононных состояний в начале и в конце. При этом матричный элемент оператора е*Ч'0г» сводится к среднему значению этого оператора. Такие средние значения определяют многие свойства твердых тел, и они были изучены в весьма общем виде. Интересующий нас результат можно легко найти в случае малого смещения 6г0. Для этого достаточно разложить экспоненту по степеням 6 г0, усреднить полученное выражение по направлениям и величине вектора о г0 и снова записать результат в виде экспоненты
(Oi | «*«•*• | Ф,) ж (Ф, 11 + (Q • 6г0 - (%6г°)а | Ф,) =
= 1 —<Ф, 16rJ | Ф,> « е-^<в1>/в.
Множитель V3 получился за счет усреднения по направлениям вектора 8г0, a (6rJ) есть среднеквадратичное смещение атома. Этот результат оказывается точным в случае теплового распределения фононов, включая Т = 0, когда все фононы находятся в основном состоянии. Вероятность излучения без отдачи пропорциональна квадрату этого матричного элемента, т. е.
e-G*<6rjt>/3.
он называется фактором Дебая — Уолера. Аналогично в случае дифракции рентгеновских лучей или нейтронов интенсивность дифракционных максимумов, соответствующих излучению без испускания фононов, пропорциональна тому же фактору.
