Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Ф = 2Л„|л). (4.45)
Число фононов в этом состоянии не определено, а среднее значение числа фононов равно
(л) = S А$Апп.
П
Пользуясь соотношением (4.44), найдем среднее значение амплитуды и:
<“>- ЫЬ-Г 2 ЛА<й|«|я>-(-5иг),/,ЦЛ-,А.У*.
п, т п
(4.46)
(Аналогично можно получить среднее значение амплитуды для моды с волновым вектором —q, но оно нам не понадобится.)
Если фазы комплексных чисел Ап изменяются при изменении л случайным образом, то фазы большого числа членов в сумме (4.46) распределены случайно и среднее значение должно быть очень малым. Значение (и) будет максимальным, если фазы всех чисел Ап одинаковы. В действительности для этого достаточно, чтобы фаза коэффициента Л„_1 отличалась от фазы коэффициента А„ на одну и ту же величину <р при любом л. Таким образом, величина (и) имеет максимальное значение при
An = \An\ein*. (4.47)
Нетрудно убедиться, что это условие фазовой когерентности определяет возможность классического описания поведения системы. Пусть коэффициенты | Ап | плавно изменяются при изменении л, но отличны от нуля лишь при л « (л). Тогда в выражении (4.46) множитель У~п можно вынести за знак суммы. Учитывая, что
ЛХ-Ип «|Л„ |*е*ф,
заключаем, что остающаяся сумма 2 | Л„ |* совпадает с квадратом нормы состояния ф и, следовательно, равна единице. Таким образом,
Л (я) \ V*
462
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
Левая часть равна кинетической энергии рассматриваемой моды. Добавляя к ней потенциальную энергию моды, численно совпадающую с кинетической энергией, получаем полную энергию моды. Добавив еще энергию моды с волновым вектором —q, получим в конце концов энергию А<о (л), что совпадает с энергией моды в предельном случае большого числа квантов (классический предел). Таким образом, энергйя всех квантов равна энергии когерентной моды, фаза и амплитуда которой имеют определенные значения.
Покажем теперь, что переменные п и <р канонически сопряжены друг с другом. Чтобы строго доказать это утверждение, дадим более точное и более общее определение фазы <р. Подставив когерентное выражение (4.47) для Ап в определение (4.45) волновой функции Ф, получим
»
Таким образом, оператор (А//) д/дф равен произведению А на оператор числа частиц, а именно такому соотношению (с точностью до множителя А) удовлетворяет в квантовой механике любая пара канонически сопряженных переменных. Эти соображения можно, конечно, существенно развить, но для нашей цели это не нужно.
Представление о том, что при наличии фазовой когерентности возникают состояния с определенным значением амплитуды, играет чрезвычайно важную роль в физике твердого тела. Выше мы убедились, что использование фазовой когерентности принципиально необходимо для установления связи между классическим и квантовым описаниями колебаний решетки. Понятие о фазовой когерентности играет также главную роль при описании кооперативных явлений, что можно уяснить уже на примере колебаний решетки.
Представим себе, что решетка нестабильна по отношению к колебаниям некоторой конкретной моды, т. е. энергия системы, искаженной колебаниями этой моды, меньше, чем энергия идеально периодической решетки. Пользуясь классическими представлениями, предположим, что такие колебания возникают спонтанно и что в результате устанавливается некоторая равновесная амплитуда отклонений от невозмущенного состояния. Описывая систему с помощью вектора состояния (4.45), можно сказать, что при этом устанавливаются определенные значения коэффициентов Ап, причем фазы Ап и Ап. 1 когерентны. Подобные переходы связывают с недиагональным дальним порядком (ODLRO)*). Происхождение
1) Сокращение от слов «off-diagonal long-range order».— Прим. ред.
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
463
этого термина можно пояснить, если для описания состояний системы использовать матрицу плотности, которую в данном случае можно представить как
Таким образом, сущность описанного явления сводится к тому, что фаза недиагональных матричных элементов pn-i,„ имеет определенное значение. Эту фазу можно включить в число термодинамических параметров системы. Ее называют параметром порядка, описывающим дальний порядок в системе.
Покажем, что переход в сверхпроводящее состояние можно описать аналогичным образом. В этом случае произведение операторов электронного поля ф t (г) Ф i (г) (где одному полю соответствует направление спина вверх, а другому — направление вниз) играет такую же роль, как амплитуда uq в случае фононной системы. Переходу в сверхпроводящее состояние соответствует установление макроскопического среднего значения для этого произведения, что определяет в этой системе ODLRO и в соответствии с этим число электронов в системе не имеет определенного значения. С установлением ODLRO связана также сверхтекучесть жидкого гелия. Аналогично эффектами установления дальнего порядка объясняются ферромагнетизм и антиферромагнетизм. Более полное обсуждение ODLRO, и особенно эффектов ODLRO в жидком гелии, можно найти в обзоре Андерсона 17].
