Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Получив классический гамильтониан, мы можем перейти теперь к квантовой механике. Для этого будем считать Pq и uq операторами, удовлетворяющими коммутационному соотношению
(В шредингеровском представлении Pq = (h/i) d/duq. Однако здесь нам понадобятся лишь коммутационные соотношения.)
Удобно перейти от операторов Pq и uq к двум новым операторам, которые будут интерпретированы как операторы уничтожения и рождения фононов. Этот переход соответствует каноническому преобразованию операторов
Здесь со, обозначает классическую частоту моды, т. е.
Постоянные множители при операторах подобраны таким образом, чтобы коммутационные соотношения для операторов ач и dq, вытекающие из (4.38) и (4.30), приобрели простой вид
Таким коммутационным соотношениям подчиняются операторы уничтожения и рождения бозонов.
— У| PqP-Q ~f~ ~ hqUqU-q'j . (4.39)
я
(4.40)
(Xq&q* (Xq9Ctq —
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
459
Чтобы выразить гамильтониан через эти операторы, запишем произведение aqaq с помощью определений (4.40). В результате найдем соотношение
~2М Р-яРч + ~2~ kqU-qUq = [а9а« + _2^' (^9Ы9 и-9^>~я)] •
Суммирование этого выражения по всем значениям q дает гамильтониан. Объединив в последнем члене справа слагаемые, соответствующие значениям q и —q, и воспользовавшись коммутационными соотношениями для Pq и uq, получим
<й?ф=2»®9(а9Ч + -y)- (4-41)
9
Сравнение этого гамильтониана с хорошо известным выражением для энергии гармонического осциллятора позволяет заключить, что aqaq есть число фононов, принадлежащих q-й моде.
Теперь нетрудно показать, что действие оператора aq сводится к рождению одного фонона. В этом можно убедиться, взяв состояние | п) с п фононами в q-й моде. (Индекс q опустили.) Нетрудно найти результат действия оператора числа частиц на состояние а* | п):
(а*а) а* | л)=а* (аа*) \ п) = а* (а+а +1) | п) = (л + 1) а+1 п).
Отсюда следует, что состояние а+ | п) является собственным состоянием оператора числа частиц, соответствующим собственному значению п + 1. Аналогично можно показать, что а | п) есть собственное состояние оператора числа фононов, отвечающее собственному значению п — 1.
Теперь позаботимся о нормировке. Если состояние | л> нормировано, то состояние а * \ п) не нормировано. Нормировочный интеграл этого состояния равен
(п| аа*| п) — (п | а*а+ 11 п) = (п + 1) (п\ п).
Поэтому нормированные состояния имеют вид
1Л+1>= vfW'i'l>'
V'*+l (4 42)
что соответствует введенным выше обозначениям. Отсюда также следует
I W4®
1 (л!)1/*
460
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Теперь мы можем написать выражения для собственных состояний фононного гамильтониана (4.41). Состояние, в котором фононов нет, вакуумное состояние, обозначим символом | 0), а число фононов <7-й моды обозначим я9. Тогда состояние решетки определяется выражением
Если электрон-фононное взаимодействие выключено, собственные состояния гамильтониана <$?ei+ имеют вид ФУ N, где Ф и У * определяются соответственно выражениями (4.23) и (4.43).
Фазовая когерентность и недиагональный дальний порядок. Прежде чем перейти к дальнейшему изучению фононов и взаимодействий между ними, мы остановимся на более глубоком обсуждении смысла полученных только что результатов.
Чтобы выразить гамильтониан через операторы уничтожения и рождения фононов, мы выполнили ряд преобразований, позволивших нам исключить фононные амплитуды uq. Пользуясь соотношениями (4.40), можно выразить через операторы уничтожения и рождения и сами амплитуды ич:
Следует отметить характерную особенность этого результата, с которой мы встретимся снова при изучении сверхпроводимости, но которую, может быть, проще разъяснить сейчас. Если система находится в состоянии с определенным числом фононов, то среднее значение амплитуды смещений и, равно нулю. Из этого утверждения вовсе не следует, что смещения в разных направлениях встречаются в среднем одинаково часто. Амплитуда uq комплексна, и поэтому точный смысл этого утверждения состоит в том, что ее фаза не имеет определенного значения. Мы покажем, что фаза амплитуды является канонически сопряженной величиной с числом фононов. Из соотношения неопределенностей поэтому следует, что при заданном числе фононов фаза не имеет определенного значения, и наоборот.
Этот вывод имеет весьма общую природу. Он применим также и к электромагнитному излучению. Фаза электрического поля канонически сопряжена с числом фотонов. При классической трактовке излучения антенны, когда непосредственно вычисляется величина электромагнитного поля, мы имеем дело с состоянием системы, в котором число фотонов не имеет определенного значения. При расчете процесса испускания фотона отдельным атомом мы имеем дело с состоянием, в котором не имеет определенного значения фаза электромагнитного поля.
(4.43)
(4.44)
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
461
Для более точной формулировки высказанных соображений попытаемся построить состояние, в котором амплитуда смещений имеет определенное значение. Для этого, очевидно, необходимо взять некоторую линейную комбинацию состояний с различными числами фононов. Рассмотрим какую-либо определенную моду с волновым вектором q. Опуская индекс q, представим искомое состояние в виде
