Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
45#nr(r)[j^«^p]v.(r),
причем выражение в квадратных скобках является некоторой достаточно простой функцией г. Такое же выражение получается при замене средним значением произведения операторов ф+(г) ф (г). Складывая оба члена, получаем потенциал Хартри, описывающий взаимодействие между электронами; этот потенциал можно добавить к потенциалу V (г) в гамильтониане (4.34).
Аналогично среднее значение произведения операторов ф+ (г) ф (г') есть некоторая функция г и г'. Переставляя в выражении (4.35) два первых полевых оператора (что приводит к изменению знака), получаем следующий вклад в гамильтониан самосогласованного поля:
—?- j d'rcPr'r (О 0??Шрф (г).
Сумма этого члена и эквивалентного ему члена, зависящего от среднего значения произведения операторов ф+(г') ф (г), определяет обменную энергию в приближении Хартри — Фока.
Естественно предположить, что других комбинаций двух полевых операторов, имеющих отличные от нуля средние значения, не существует. Например, произведение полевых операторов ф (г') ф (г) при действии на многоэлектронное состояние ? уменьшает число электронов на 2, так что получающееся состояние ортогонально состоянию ? и среднее значение оказывается равным нулю. Для проведения этого доказательства требуется, однако, чтобы в состоянии Ф число частиц было определено. Если в линей-
456
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
ной комбинации (4.31) содержатся члены с различными занчениями числа частиц, то среднее значение оператора ф (г') -ф (г) может и не обращаться в нуль. При обсуждении сверхпроводимости мы увидим, что в сверхпроводящем основном состоянии число частиц обычно не определено и поэтому среднее значение рассматриваемого произведения операторов по этому состоянию не равно нулю. Таким образом, при использовании приближения самосогласованного поля в теории сверхпроводимости появляется дополнительный микроскопический параметр <ф (г)ф (г)), который играет примерно такую же роль, какую играет электронная плотность в приближении Хартри. В нормальных (т. е. не сверхпроводящих) твердых телах в приближении самосогласованного поля имеются лишь прямые и обменные члены, полученные выше.
В данном формализме переход к приближению самосогласованного поля свелся к замене членов взаимодействия, содержащих четыре полевых оператора, на некоторые усредненные члены, содержащие лишь два оператора. Такая замена существенна для определения и вычисления энергетических зон, а также для описания кооперативных явлений.
В данный момент мы не станем пользоваться полевыми операторами, а будем задавать одноэлектронные состояния с помощью операторов рождения и уничтожения. Одноэлектронные операторы мы также выразим через операторы рождения и уничтожения.
Фононные состояния. Построим теперь аналогичный формализм для описания фононов и электрон-фононного взаимодействия, Чтобы получить фононы логически последовательным способом, мы сначала найдем классический гамильтониан колеблющейся решетки. Использование амплитуд колебаний эквивалентно переходу к нормальным координатам. Нормировочный множитель удобно включить в определение нормальных координат. Итак, разложим смещения отдельных ионов по нормальным координатам uq:
Ч
Мы рассматриваем решетку с одним ионом на примитивную ячейку. Величины 6г| и uq в действительности являются векторами и каждому значению q в зоне Бриллюэна соответствуют три нормальные координаты. Это обстоятельство приводит лишь к несущественному усложнению обозначений, и мы опустим дополнительные индексы, как если бы мы имели дело с одномерной системой. Смещения зависят от времени, поэтому нормальные координаты также зависят от времени. Хотя нормальные координаты комплексны, смещения
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
457
всегда вещественны, так как
Найдем выражение для полной энергии в любой момент времени через нормальные координаты. Полная энергия определяется выражением
Второй член можно выразить через нормальные координаты следующим образом:
В последнем выражении первая экспонента и матрица взаимодействия зависят только от разностей координат /-j — /> Поэтому можно выполнить суммирование по rj, считая разность rt — rj фиксированной. Сумма будет равна N при q' = —q, а в остальных случаях равна нулю. Таким образом этот член можно представить в виде
где для определения динамической матрицы Xq нужно провести суммирование по rt — г р.
Динамическая матрица свелась к одномерной по той причине, что мы определяем каждую моду заданием единственного параметра uq. Если бы мы учли все три компоненты моды, мы получили бы матрицу третьего порядка. Аналогичным образом вычисляется член кинетической энергии в выражении (4.36):
Тем самым мы выразили энергию через координаты uq и соответ-
ствующие скорости uq. Определяя лагранжиан, получаем выражения для обобщенных импульсов, соответствующих координа-
?‘о1=2т^)2+Зтбг<
(4.36)
} i.j
(4.37)
я
458
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
там uq:
я
Pq = -?±- = MLq,
dUq
(4.38)
P_q = ^-=M'uq.
dU-q
Заметим, что в каждую производную дают вклад два члена из суммы (с индексом q и с индексом —q). Через нормальные координаты и соответствующие им обобщенные импульсы гамильтониан выражается следующим образом:
