Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Интуиция подсказывает, что величина констант потенциала деформации должна быть порядка величины ширины запрещенной зоны. Это действительно верно. Если эти константы известны, то, как и в случае полярного кристалла, можно сразу найти электрон-фононное взаимодействие. Для полярных кристаллов объемное расширение равно
440
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
но роль константы D играет выражение
8 nZe*
»сЯг '
В случае неполярных кристаллов длинноволновая расходимость не возникает. Взаимодействие, описываемое потенциалом деформации, имеет место и в полярных кристаллах. Однако обычно его учитывать не нужно, так как оно много меньше поляризационного взаимодействия.
Этот анализ можно непосредственно распространить на деформации сдвига и тем самым получить взаимодействие электронов с поперечными и оптическими модами колебаний. В общем случае деформация имеет вид
где dbjdxj — изменение смещения по t-й оси прн изменении расстояния по /'-й оси. В этом случае константа потенциала деформации заменяется тензором, и мы получаем
8V (к, г) = 2 Du (к) еп (г).
а
В настоящий момент мы рассмотрим простейший случай — взаимодействие с продольными акустическими волнами.
Пользуясь тем, что акустические волны имеют низкую частоту, можно точно вычислить их вклад в рассеяние электронов. Для этого мы мысленно зафиксируем положения атомов в деформированном кристалле и вычислим рассеяние электронов, обусловленное наличием искажений, в точности таким же способом, как мы вычисляли рассеяние электронов на дефектах кристалла. (В дальнейшем будет показано, что движение решетки должным образом учитывается при квантовании ее колебаний.) Процесс рассеяния электрона, при котором он переходит из состояния с волновым вектором к в состояние с волновым вектором к', определяется фурье-компонентой потенциала деформации, соответствующей волновому вектору q = к' — к. Величина этой компоненты в свою очередь зависит лишь от колебаний решетки с волновыми векторами ±q, если смещения решетки записываются в виде
__Н_gUq-r-iat) I u* g-i(q.r-U)t)
Vn ^ у n
Частота указанных переходов пропорциональна квадрату потенциала деформации, а значит, пропорциональна квадрату объемного расширения. Энергия соответствующей моды также пропорциональна квадрату объемного расширения, а при высокой температуре она должна быть пропорциональной КТ. Имеется, кроме того, зависимость частоты переходов от средней энергии электронов,
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
441
определяемая плотностью электронных состояний. Так как средняя энергия электронов также изменяется при изменении температуры, то это приводит к дополнительной температурной зависимости частоты. Вычисление подвижности электронов, проведенное в п. 3 настоящего параграфа, показывает, что она зависит от температуры как Т~3/:.
Помимо только что рассмотренного процесса рассеяния могут происходить переходы электронов между вырожденными минимумами в зоне проводимости. Такой переход называется междо-линным рассеянием. Для исследования таких процессов можно пользоваться методом потенциала деформации, если обобщить понятие о тензоре потенциала деформации. Такое обобщение было описано в п. 1 § 6 гл. II.
При рассеянии электронов на оптических модах частотой мод, очевидно, пренебрегать нельзя. Испускание оптического фонона вызывает изменение энергии электрона на величину Ь<я, равную энергии фонона. Эта энергия по порядку величины обычно равна комнатной температуре или несколько больше. Подобные процессы начинают играть существенную роль только тогда, когда электроны приобретают достаточно большую энергию (становятся горячими). В этом случае рассеяние электронов на оптических модах становится основным механизмом потери энергии электронами, так как при рассеянии на акустических модах энергия меняется мало (в проведенных выше вычислениях мы фактически пренебрегали соответствующими изменениями энергии, зафиксировав положения атомов решетки).
Простые мепшллы. В металлах необходимо рассматривать взаимодействие электронов с коротковолновыми колебаниями решетки. Действительно, в этом случае представляют интерес процессы рассеяния, при которых электрон перемещается по поверхности Ферми, а это связано с очень большими изменениями волновых векторов. К счастью, для простых металлов очень ясную трактовку электрон-фононного взаимодействия можно получить, воспользовавшись методом псевдопотенциала.
Мы уже отмечали, что взаимодействие между ионами и электронами в металле можно описать с помощью псевдопотенциала, матричные элементы которого имеют вид
<k + q|r|k)=S(q)(k + q|o>|k).
где <k+q|ffi’|k>—формфактор, определяемый свойствами отдельного иона. Вся информация о конфигурации ионов в решетке содержится в геометрическом структурном факторе S (q). Электрон-фононное взаимодействие можно полностью определить через дополнительные матричные элементы, возникающие за счет откло-
442
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
нения ионов от положения равновесия, а эти дополнительные члены входят лишь в структурный фактор.
