Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Если возникает необходимость в учете взаимодействия между электронами, определяемого потенциалами 1/г23^(г«—tj)> то к гамильтониану нулевого приближения надлежит добавить вторично квантованное представление для этого взаимодействия:
K(ri, r2)=j 2 (k4,k3|V|k2, k^c^ChjCftjCh,. (4.28)
Здесь
<k4, ks | V | k2, k,) = j dVj dV2 (г,) фЙ, (rj) V (r, — гр*2 (r2) i|3hl (r,).
(4.29)
И в этом случае знак интеграла указывает не только на интегрирование по пространственным координатам, но и на интегрирование по спиновым координатам. Матричные элементы отличны от нуля лишь в том случае, если одинаковы спины состояний к3 и к2 и одинаковы спины состояний к4 и kt. В этих обозначениях удобно находить приближения теории возмущений (см. задачу 5 настоящей главы). Эти обозначения позволяют существенно упростить выкладки.
Интересно посмотреть, как в этом представлении выглядят
обменные силы. Среднее значение оператора V (г4, Гг) по состоянию ct^ti I 0) представляется в виде суммы двух членов разного типа (к каждому из них нужно добавить еще по одному члену того же типа):
(01 ((kj, k21V | k], k^ С/цС^С/цС^ -)-
-j-(k2, kt [ V | kj, кг) cJjCjjChjCftj) cJjCfj 10). (4.30)
Вид матричного элемента (kj, k2 | V | klf k2) подсказывает, что
первый член в выражении (4.30) описывает взаимодействие, которое мы назвали ранее обменным. Этот член отличен от нуля только в том случае, когда спины состояний kt и к2 одинаковы. Обменное взаимодействие возможно лишь между состояниями с параллельными спинами. Как видно, действие операторов с^сь^сь на правое состояние свелось к перестановке состояний kj и к2 (или, что то же самое, к перестановке двух строк в детерминанте Слэтера). Соответствующее изменение знака волновой функции мы уже обсу-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
451
ждали ранее в п. 2 § 3 гл. II, когда впервые встретились с обменным взаимодействием. В данной связи термин «обменное взаимодействие» представляется совершенно естественным. Второй член в выражении (4.30) описывает обычное взаимодействие, которое получается уже в приближении Хартри. Это взаимодействие связывает состояния как с параллельными, так и с антипараллельными спинами.
Полезно заметить, что суммирование по одному из импульсов в выражении (4.28) можно исключить, воспользовавшись сохранением импульса в процессе столкновения двух свободных электронов. Поэтому многие из матричных элементов (4.29) тождественно равны нулю. Это можно проверить непосредственным вычислением, подставив в выражение (4.29) состояния плоских волн:
<к4, к31V|к2, к,)=-^ j (rt-г2)<?*<*»-*»>•'»«=
= 1F j ^Гг [e1(fcl_*4>,(ri_r*) V (г,—Гг)]
Заменим в этом выражении интегрирование по rt и г2 на интегрирование по rt — г2 и г2 и возьмем интеграл по г2 при фиксированном значении rt — г2. Интеграл будет отличен от нуля лишь при условии
k3 —к2 = — (к*—к,), при этом его значение равно й. Таким образом, вводя вектор
q = k4—кь
пропорциональный переданному импульсу, мы можем переписать электрон-электронное взаимодействие (4.28) в виде
V (Г11 Г2) = -у 2
ftl, kt, q
где
= J ^е~^У(г).
Это упрощенное представление совершенно эквивалентно выражению (4.28) при условии, что в процессах рассеяния электронов сохраняется импульс. Обычно взаимодействие электронов записывают именно в последней форме. Рассматриваемый член гамильтониана описывает «процесс», в котором электрон в состоянии | kt) взаимодействует с электроном в состоянии | к2) и обменивается с ним импульсом ftq. Этот процесс можно представить диаграммой на фиг. 128.
Когда мы рассматривали туннелирование электронов, мы обсуждали переходы, при которых электрон покидает одну часть системы
29*
452
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
и появляется в другой части. В гамильтониане такому переходу, очевидно, соответствует член, содержащий произведение надлежащих операторов рождения и уничтожения.
При использовании формализма вторичного квантования мы почти всегда будем употреблять построенные выше операторы рождения и уничтожения, основанные на состояниях Хартри — Фока. Однако вторичное квантование можно сформулировать
Фиг. 128. Диаграммное представление электрон-фононного взаимодействия
^9cki+qckt—qCh2Cki.
Пунктирная линия изображает взаимодействие между двумя электронами, а стрелки изображают волновые векторы их начальных и конечных состояний в соответствующем процессе рассеяния.
в более общем виде, и в действительности таким более общим формализмом можно воспользоваться для построения самого приближения Хартри — Фока. Эта общая формулировка позволяет лучше уяснить метод самосогласованного поля, и она понадобится нам при рассмотрении сверхпроводимости. Поэтому мы сейчас ее приведем.
Как было показано выше, состояние, определяемое некоторым детерминантом Слэтера, можно представить в виде
k
где индексы k относятся к занятым одноэлектронным состояниям. Наиболее общую антисимметричную многоэлектронную волновую функцию можно записать в виде линейной комбинации детерминантов Слэтера, т. е. в виде
Ап П ct10), (4.31)
где произведения берутся по различным наборам индексов {&}„. Например, двухэлектронное состояние можно представить в форме
