Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
б/Иш» 1 f (“?) .
М 3N J
Если плотность состояний п (со,) известна из опыта или вычислена, то входящий сюда интеграл можно найти. Предположив, что спектр имеет дебаевский вид
я (<?>?) _ 3(4
3N <oJ, ’
где coo — частота обрезания, можно найти явный вид интеграла, и получить уравнение
чзет-1- <4-22>
График зависимости (со—сой )/а»в от —6MIM, определяемый этим уравнением, приведен на фиг. 122.
28-0257
434
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Можно также вычислить отношение квадрата амплитуды локальной моды вблизи примесного атома к среднему значению квадрата амплитуды смещения атомов решетки. Для строго локализованной
м
Фиг. 122. Относительный сдвиг частоты локальной моды как функция относительного уменьшения массы [3].
Для вычисления использован дебаевсквй спектр.
моды амплитуды с увеличением расстояния убывают экспоненциально, и для бесконечного кристалла указанное отношение оказывается расходящимся. В случае дебаевского спектра всегда возникает локализованная мода, но это связано с наличием разрыва у функции п (ю). В реальном случае, когда пЫ) — непрерывная функция, экспоненциально убывающая мода возникает лишь при конечном значении б М. Как было показано выше, аналогичное положение имеет место для локализованных электронных состояний в поле притягивающего локального потенциала.
Точно таким же способом можно рассмотреть локализованные моды в кристалле, в котором оптические моды отделены по частоте от акустических мод. Используя графики, аналогичные графикам на фиг. 121, нетрудно показать, что в случае легкого дефекта локальная мода может быть выше как оптической, так и акустической ветвей. В случае тяжелого дефекта локальная мода может находиться низке оптической полосы.
Рассматривая лишь фиг. 121, трудно увидеть, может ли образоваться резонансное колебательное состояние., хотя аналогия с рассмотренной нами ранее задачей о фазах электронных состояний подсказывает такую возможность. На фиг. 121 зависимость 2 от <о представляет тангенциальную функцию, что вполне оправдано при достаточно малых значениях б М. При этом 2 (со) обращается в нуль при частотах, равных полусумме соседних невозмущенных
§ 3? Локализованные моды
435
частот. При больших значениях 8М величину 2 в этих средних точках можно оценить, если заменить сумму интегралом и взять его главное значение. Пользуясь для распределения частот приближением Дебая, получаем, что значение 2 в средних точках растет
Фиг. 123. График для 2, соответствующий графику на фиг. 121 в случае, когда масса примеси очень велика по сравнению с массой атомов решетки.
пропорционально квадрату частоты ш. Таким образом, при достаточно большом значении 8Л4 верхняя кривая на фиг. 121 деформируется так, как показано на фиг. 123. При этом очевидным образом появляется резонансная мода, и соседние моды расположены по отношению к ней точно так же, как и в случае электронного резонанса. Величину резонансной частоты можно найти из уравнения 14.22). Действительно, как мы только что отмечали, для этого необходимо вычислить интеграл, что и было сделано при получении уравнения (4.22) (хотя и в связи с вычислением локализованных мод). Из уравнения (4.22) следует, что при положительных и больших по сравнению с М значениях бМ резонанс появляется при низкой частоте, примерно равной
займы довели вычисления до конца в случае дефекта, определяемого только изменением массы одного из атомов. В этом случае все расчеты несколько упрощаются. Однако с теоретической точки зрения полезно сосредоточить внимание именно на таких «массовых» дефектах не только из-за упрощения расчетов, но и потому, что
28*
436
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
масса любого примесного атома известна, в то время как оценить связанное с наличием примеси изменение силовых постоянных весьма трудно. Отметим, однако, один из наиболее интересных примеров низколежащей резонансной моды, появляющейся в кристалле КВг при замещении одного из ионов калия ионом лития [4]. Поскольку ион лития легче иона калия, мы могли бы ожидать появления истинно локализованной моды. Появление резонанса указывает на то, что взаимодействие примесного атома с решеткой очень мало; эксперименты показывают, что константа этого взаимодействия составляет лишь 0,6% от константы основного взаимодействия в решетке. Малый ион лития легко перемещается в большой области, ранее занимаемой ионом калия. Кажется весьма правдоподобным, что во многих случаях эффекты, связанные с изменением взаимодействия, могут быть большими по сравнению с эффектами, связанными с различием масс.
§ 4. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Очевидно, что колебания решетки должны влиять на поведение электронов в твердом теле. Например, в металлах продольные колебания ионов вызывают накопление зарядов. Соответствующим образом экранированные, эти заряды создают потенциал, зависимость которого от координат имеет такой же вид, как зависимость от координат амплитуды колебаний решетки. Этот потенциал, конечно, входит в полный гамильтониан электронов и определяет взаимодействие между колебаниями решетки и электронами. Задачу о взаимодействии электронов с фононами в принципе можно было бы решить точно и тем самым найти собственные состояния системы, состоящей из электронов и фононов. Эта задача была нами частично решена, когда мы рассматривали электронное экранирование при исследовании колебательных мод. При этом некоторая часть взаимодействия электронов с фононами была учтена точно, и мы получили в результате экранированное поле. При построении поляронов в ионных кристаллах мы столкнулись с другим случаем, когда некоторая часть взаимодействия между электронами и фононами включается в определение электронных состояний. В большинстве случаев использование таких состояний приводило бы к значительным неудобствам. Часто гораздо удобнее находить приближенные собственные состояния как электронов, так и решетки и считать остаточное взаимодействие возмущением, которое мы назовем электрон-фононным взаимодействием. Электрон-фононное взаимодействие определяется неоднозначно. Его вид зависит от того, в какой мере мы включили исходное взаимодействие в определение объектов, которые мы называем электронами и фононами. Однако для всех изучаемых систем процедура
