Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Учтены лишь взаимодействия с ближайшими соседями и со вторыми ближайшими соседями. Поперечные моды двукратно вырождены.
такое же выражение для частоты, но с другим значением (обычно меньшим) эффективной силовой постоянной х'. Соответствующие дисперсионные кривые изображены на фиг. 112.
Отметим, что при больших длинах волн (т. е. при малых значениях q) частота зависит от волнового числа линейно, и можно однозначно определить скорость продольного звука
dm _ .. У х
416
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
и скорость поперечного звука
aYh-
При больших значениях волнового числа дисперсионная кривая приближается к границе зоны Бриллюэна по горизонтали точно так же, как это обычно имеет место для энергетических зон электронов. Можно еще отметить, что волновое число, лежащее вне зоны Бриллюэна, определяет, согласно (4.1), такие же смещения, как и приведенное волновое число, лежащее в зоне Бриллюэна. Полученные дисперсионные кривые определяют полную систему колебаний, распространяющихся в направлении [1001 рассматриваемого кубического кристалла.
Следует подчеркнуть, что в случае произвольного направления распространения звука одни соображения симметрии не позволяют определить поляризацию индивидуальных мод колебаний. Действительно, в этом случае смещения в одном направлении вызывали бы появление сил в других направлениях. Поэтому необходимо рассматривать одновременно смещения во всех трех направлениях, и для определения частот и направлений поляризации нужно решить систему трех уравнений. Соответствующие колебания нельзя разделить на чисто продольные и чисто поперечные, хотя приближенно такое разделение возможно. Вырожденные поперечные колебания теперь расщепляются, но в остальном характер дисперсионных кривых качественно не изменяется. Можно еще отметить, что, включив взаимодействия с третьими ближайшими соседями, мы получили бы в выражении для со2 дополнительные члены с экспонентой и соответствующие высшие фурье-компо-ненты в дисперсионной кривой. Очевидна близкая аналогия между трактовкой спектра колебаний на основе модели силовых постоянных и изучением электронных состояний в приближении сильной связи.
2. Два атома на примитивную ячейку
Обобщим проведенные выше рассуждения на случай колебаний решетки в кристаллах с более чем одним атомом на примитивную ячейку. Одно из обобщений описанной выше модели можно получить, меняя массы чередующихся атомов в простом кубическом кристалле. Можно, например, рассмотреть случай, когда массы ближайших соседей отличаются, но массы следующих ближайших соседей совпадают подобно тому, как это имеет место в структуре хлористого натрия. Еще более простое обобщение получится, если отличны друг от друга массы атомов, лежащих в соседних плоскостях, как это изображено на фиг. 113. Тогда задача о распространении колебаний в направлении [1001 сводится к одномерной задаче,
§ 1. Метод силовых постоянных
417
которая легко решается. Мы проведем это решение по аналогии с рассуждениями п. 1 настоящего параграфа.
Перенумеруем атомные плоскости индексом /, и пусть массы атомов в /-й плоскости равны Mi, если / нечетно, и М2, если /
мг
М,
о
Мг
М, М2
М,
Фиг. 113. Простая кубическая структура, в которой массы атомов в соседних плоскостях уг отличаются друг от друга.
четно. Для продольных колебаний смещения бгj в направлении х имеют вид
Ьг} =
JiL^fAqaig- tcol для четНЫХ /,
J^giqaje-ш для нечетных /.
у N
(4.6)
Определим, как и выше, силовые постоянные для взаимодействия между плоскостями. При этом сила, действующая на /-й ион 1см. <4.3)1, равна
Fj = х [(8г/+1 — б о) + (6 rj.t — 6rj)J,
или
Fj =
-^=-(u2ei4a + u^~i4a—2ui)ei9aje-i,it для четных /,
—j=r (и ,6*?“ + ule-i*a—2ы2) eiqale~iu>l для нечетных /. „ VN
Подставляя выражения для б rj из (4.6) в уравнение
Fj = Mjdrj,
получаем
27-0257
2‘K(uzcosqa — Ui)= — М,а>*ы„ 2х (ut cos qa—и2)= — М&Риц
(4.7)
418 Г.). IV. Колебания решетки и атомные свойства
теперь разделим обе части на множитель
gigajg-iat
Эти уравнения имеют решение, если со2 определяется выражением
Mi+Mt yfjMi-M,)*
(O' =
2х
?MiM2cos2<7aj. (4.8)
MiMt L 2 -“-г 4
Рассмотрим сначала это решение при = М2 Оно имеет вид
±cos<7a)'
или
со-
cos qa 2
sin qa 2
и изображено на фиг. 114. Это решение должно быть эквивалентным полученному в предыдущем разделе. Второе из выписанных решений
Фиг. 114. Зависимость ш от q для распространяющихся по направлению [100] продольных мод колебаний кристалла, изображенного на фиг. 113;
случай Mt = М«.
(пропорциональное синусу) совпадает с найденным ранее решением (4.5), а первое (пропорциональное косинусу), как нетрудно видеть, фактически ему эквивалентно. Действительно, выражение (4.6) зависит лишь от целых значений /, поэтому добавление к волновому числу q величины п/а при четных значениях / ничего не изменяет, а при нечетных значениях / смещение бг^ приобретает множитель ein= —1, который можно включить в ut. Поэтому каждой точке на первой дисперсионной кривой (косинус) соответствует мода, уже полученная для второй кривой (синус), и мы
