Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
30. Spicer W. E., в книге: «Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys», Abeles, ed., Amsterdam, 1966.
31. Brown F. C-, The Physics of Solids, New York, 1967.
32. Harrison W. А., в книге: «Soft X-ray Band Spectra», Fabian D. J. ed.,
New York, 1968.
33. Roulet S., Gavoret J., Nozieres P., Phys. Rev., 178, 1072 (1969).
34. Nozieres P., Gaoo'ret J., Roulet B., Phys. Rev., 178, 1084 (1969).
35. Nozieres P., de Dominicis С. Т., Phys. Rev., 178, 1097 (1969).
36. Friedel J., Comments on Solid State Physics, 2, 21 (1969).
37. Friedel J., Phil. Mag., 43, 1115 (1952).
38. Anderson P. Phvs. Rev. Lett., 18, 1049 (1967).
39. Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 30, 1058 (1956).
40. Platzman P. М., Walsh ft7. М., Foo E-Ni, Phys. Rev., 172, 689 (1968).
41. Cohen М. H-, Frilzsche H., Ovshinsky S. R., Phys. Rev. Lett., 22, 1065 (1969).
42. Gell-Mann М., Brueckner К? A., Phys. Rev., 106, 364 (1957).
43. Ehrenreich H., Phys. Rev., 120, 1951 (1960).
44*.Пикус Г. Основы теории полупроводниковых приборов, нзд-во «Наука», 1965.
45*. Федотов Я. А., Основы физики полупроводниковых приборов, «Сов. радио»,
46*. Волков А. Ф„ Коган Ш. М., УФН, 96, 633 (1968).
47*. Новые методы полупроводниковой СВЧ электроники. (Эффект Ганна и его применение), сб. статей, изд-во «Мнр», 1968.
48*.Головашкин А. И., Левченко И. С., Мотулевич Г. П., Шубин А. А., ЖЭТФ, 51. 1622 (1966).
49*.Лифишц И. М., Азбель М. Каганов М. И., Электронная теория металлов, нзд-во «Наука», 1971.
IV
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ И АТОМНЫЕ СВОЙСТВА
В п. 3 § 5 гл. I на основании одних лишь соображении симметрии было показано, что каждому нормальному колебанию решетки, как и электронному состоянию в идеально периодической структуре, можно приписать некоторое значение волнового вектора. Зададим для некоторой моды значение волнового вектора q и перенумеруем различные моды с одним и тем же значением q с помощью индекса X. Тогда в кристаллах с одним атомом на примитивную ячейку величину отклонения атома от положения равновесия г,-для данной моды можно записать в виде
бг ) = ^е4л'ггычл1>, (4.1)
\ N
где ug, /.— векторная амплитуда волны, а шд, >. — ее угловая частота. Чтобы получить вещественное значение отклонения, достаточно взять вещественную (или мнимую) часть выражения (4.1) или же сложить его с комплексно сопряженным выражением. В случае более одного атома на примитивную ячейку необходимо дополнительно ввести амплитуды и,, *, для каждого добавочного атома в ячейке. Значение волнового вектора q можно выбирать в первой зоне Бриллюэна, которая, разумеется, полностью определяется примитивной ячейкой. Таким образом, зона Бриллюэна содержит ровно столько разрешенных волновых векторов, сколько имеется примитивных ячеек в кристалле. Так как каждый атом примитивной ячейки имеет три степени свободы, то индекс X пробегает целые значения, число которых равно утроенному числу атомов в примитивной ячейке. Для упрощения обозначений мы рассматриваем кристаллы с одним атомом в ячейке.
§ 1. МЕТОД СИЛОВЫХ ПОСТОЯННЫХ х)
Проблема вычисления нормальных мод и частот колебаний решетки имеет весьма долгую историю. Традиционный подход исходит из того факта, что полную энергию системы можно записать
1) Типичные примеры использования этого подхода можно найти в сборнике [1].
410
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
в виде функции координат всех атомов W (г(, г2, . • •)• При колебаниях решетки ее атомы испытывают небольшие отклонения от положений равновесия, и поэтому энергию можно разложить в ряд
?tot=^(r„ г2, ...)+2-^бГ/+42бг'-^|7бг>+---> <4-2)
i i, 3
где теперь векторы гг относятся к положениям равновесия и значения энергии IF и ее производных вычисляются в этих точках. Векторы 8rj описывают отклонения атомов от положений равновесия. Значение энергии в состоянии равновесия нас не интересует. Кроме того, в положении равновесия член первого порядка должен обращаться в нуль. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело лишь с членом второго порядка. Выражение diW/dridrj называется матрицей взаимодействия.
Сила, действующая на атом, который в положении равновесия находится в точке г{, вычисляется непосредственно и равна
р _ дЕ\0х _ 1 чп / &W о . . (FW \ _
F‘----3FT T2i \dFrdFj6rj + 6rj'dFJdFr)-
3
dr I dtj 6r>- (4*3)
i
Заметим, что в сумме содержится и член с / = i. Далее, ускорение атома, расположенного в равновесии в точке г;, равно этой силе, деленной на массу атома М. Подставляя поэтому в уравнение движения атома известное решение (4.1), получаем
-M^.xUq,K= -2 -БГ57и*-*в**'(Г'"Г|)- <4'4)
3
Из трансляционной симметрии решетки с одним атомом в примитивной ячейке следует, что &Widridrj зависит только от разности Г/ — п. (В случае кристаллов с более чем одним атомом в примитивной ячейке нам понадобились бы отдельные уравнения для каждого атома ячейки.) В кристаллах с одним атомом в примитивной ячейке мы получаем три связанных уравнения, соответствующих трем компонентам уравнения (4.4). Если известны значения матрицы dtW/dridrj, то в принципе можно решить эти три уравнения и получить тем самым значения собственных частот и относительные величины компонент векторных амплитуд для каждой моды.
