Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ /. Метод силовых постоянных
413
руют указанное приращение энергии. Таким образом, ограничиваясь учетом взаимодействия лишь ближайших соседей, мы приходим к выводу, что оно должно быть центральным и описываться единственной силовой постоянной Xj. На этом, однако, остановиться нельзя, поскольку такой кристалл не оказывал бы сопротивления деформации сдвига и решетка оказалась бы нестабильной. Поэтому
Фиг. 110. Взаимодействие между ближайшими соседями, представляемое с помощью пружинок, соединяющих их друг с другом.
Чисто радиальным взаимодействиям соответствуют пружинки, которые могут свободно вращаться в точках скрепления их с атомами. Такое взаимодействие ие может стабилизировать простую кубическую структуру. Жесткое скрепление пружинок с атомами при-водит к появлению силы, зависящей от угла между примыкающими пружинками, и стабилизирует структуру. Такого рода силы изгиба связей действуют не только между ближайшими соседями, но и между вторыми ближайшими соседями, так как для
определения угла между пружинками необходимо задать положения трех атомов.
необходимо включить также и взаимодействие со следующими ближайшими соседями, которые в простой кубической решетке расположены в направлениях [110].
Для этого достаточно включить радиальное взаимодействие со следующими ближайшими соседями, описываемое новой силовой постоянной х2. Введенных двух радиальных взаимодействий достаточно для стабилизации решетки. Однако, кроме того, мы могли бы включить константы, соответствующие поперечным смещениям для ближайших и вторых соседей. Такие взаимодействия описывали бы изменение энергии при изменении угла между двумя смежными векторами связи. Подобное взаимодействие часто называют силами изгиба связей. Вновь используя требование инвариантности полной энергии относительно вращений, можно показать, что число независимых постоянных, необходимых для описания взаимодействий между ближайшими н вторыми соседями, равно трем. Эти константы можно выразить через упругие постоянные кристалла, через которые тем самым будет выражен и спектр колебаний.
Для упрощения вычислений рассмотрим распространение звуковой волны в направлении [100] и обсудим лишь продольную моду. Вид мод колебаний, которые могут распространяться в этом направлении, ясен из физических соображений, которые можно подтвердить соображениями симметрии. Имеется продольная мода,
9~0П1Тт1Г><ьпгтт*сцггт^
: § I 1
: I | :
WHTTTIT) *-0-ппгттггг^О-пггштт^
• - г •
Р~<1ппП1угг,-СНттт
414
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
в которой смещения атомов параллельны направлению распространения волны. Кроме того, имеются две поперечные моды, в которых смещения перпендикулярны направлению распространения. Эти две моды имеют одинаковые частоты и волновые векторы. Геометрия продольных колебаний схематически изображена на фиг. 111. Смещения одинаковы для всех атомов, лежащих в одной плоскости,
6г, 6гг <5г3 &ъ, Srs Srs 6r7 6r,
о* о—» О—* О—* О* О -О - о
О*- О—? О—«- О—*. о»
о*. О-*- О—*- О—» о*
о—* о» о «?о -«—о
Фиг. 111. Схематическое изображение смещений атомов некоторой части решетки в случае распространяющейся вправо продольной волны.
перпендикулярной волновому вектору q. Даже при наличии взаимодействий первых и вторых ближайших соседей сила, действующая на некоторый данный атом, зависит лишь от относительных смещений ближайшей плоскости справа и ближайшей плоскости слева. Поэтому мы можем ввести эффективную силовую постоянную, описывающую взаимодействие между плоскостями, и задача становится по существу одномерной, эквивалентной задаче об одномерной цепочке, обсуждаемой в самых элементарных учебниках по физике твердого тела. Мы не будем здесь заниматься вычислением эффективной силовой постоянной через постоянные, определенные выше, а просто введем константу щ, описывающую изменение энергии, приходящееся на один атом, лежащий в плоскости, перпендикулярной волновому вектору, и соответствующее изменению расстояния между двумя плоскостями. Определенная выше константа Xj дает вклад в х, а при малом взаимодействии между следующими ближайшими соседями эти константы становятся равными. Упругая энергия атомов, расположенных на одной линии, параллельной вектору q, равна
2 \ х — fi/’i+i)2 = * 2 (бг*— бг*бг*+1) •
i i
Это выражение совпадает с энергией одномерной цепочки, константы взаимодействия которой в выражении (4.2) выбраны еле-
§ 1. Метод силовых постоянных
415
дующим образом:
&W 0 &W _ 3*w _ dridri ~~ Х’ drtdrt+l~ drtdrt_i~ '
а остальные константы d^W/dridrj равны нулю.
Обозначим расстояние между ближайшими соседями через а и подставим выписанные выше значения силовых постоянных в секулярное уравнение (4.4). Полученное уравнение
— М(о2 = — х (2 — — е~ *«°)
определяет зависимость частоты от волнового числа:
a>=Vir2s[nJr- <4*5>
Повторяя это рассуждение для поперечных колебаний, распространяющихся в том же направлении, можно получить точно
Фиг. 112. Колебательный спектр нормальных мод простого кубического кристалла, распространяющихся в направлении [100].
