Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
422
Гл. IV? Колебания решетки и атомные свойства
смотрим отдельно уравнения Максвелла, описывающие световые волны, и введем взаимодействие световых волн с оптическими модами колебаний полярного кристалла. Для этого можно либо ввести поглощение света кристаллом, либо представить световые
Фиг. 119. Дисперсионные кривые для колебаний решетки в хлористом натрии н для световых волн, взаимодействующих с поперечными оптическими модами.
Указаны различные моды: так ПА обозначает
поперечную акустическую моду и т. д. Для рассматриваемого направления распространения моды ПА, ПО и световая двукратно вырождены. Наклон "световой„ кривой (скорость света) сильно уменьшен (для удобства). "Световая,, крнваи достигнет границы зоны Бриллюэиа при частотах, соответствующих частотам рентгеновских лучей. При этом (так же как и энергетические зоны и спектры колебаний) кривая расщепится благодаря дифракции на решетке.
волны и оптические моды колебаний в виде смесей сложных возбуждений системы, включающих как световые волны, так и колебания решетки. С последней точки зрения взаимодействие вызывает смешивание, подобное смешиванию между зоной проводимости и атомными ^-состояниями в переходных металлах. Скорость света, конечно, намного превышает скорость звука, так что дисперсионные кривые всей системы будут иметь вид, схематически представленный на фиг. 119. Отметим, что при стремлении q к нулю все три оптические моды вырождены, но при бблыпих значениях они расщепляются, как это и указано на фигуре.
§ 2. ФОНОНЫ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ РЕШЕТКИ г)
При вычислении спектра колебаний системы N атомов мы ввели 3N независимых гармонических осцилляторов, соответствующих 3N модам колебаний системы. При конечных значениях температуры эти моды возбуждаются термически и полная энергия колебаний совпадает с тепловой энергией. Если система подчиняется классическим законам, то следует ожидать, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия КТ. Поэтому теплоемкость, равная производной тепловой энергии по температуре, не зависит от частот осцилляторов и равна
CV = 3NK.
*) Более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в книге Зейтца [21.
§ 2. Фононы и теплоемкость решетки
423
Это соотношение называют законом Дюлонга и Пти. При высоких температурах этот закон довольно хорошо выполняется для многих твердых тел. Однако при низких температурах теплоемкость падает до нуля. Это расхождение теории и опыта было разрешено лишь квантовой механикой. Построение нормальных мод системы можно рассматривать как каноническое преобразование гамильтониана системы взаимодействующих атомов. Поэтому мы можем непосредственно применить законы квантовой механики к получающейся в результате этого преобразования системе гармонических осцилляторов. Некоторую данную моду с классической частотой ш можно возбудить лишь с помощью целого числа квантов ha> энергии колебаний. Энергия какой-либо конкретной моды колебаний поэтому имеет вид
где целое число nq определяет степень возбуждения системы. О таком возбуждении обычно говорят, что оно соответствует наличию nq фононов с волновым вектором q. Колебательная энергия системы складывается из энергий всех имеющихся фононов и нулевой энергии 1l2h(iiq всех мод. Это упрощенное описание в данный момент нас вполне устраивает. В дальнейшем мы проведем квантование более подробно.
Статистическая механика позволяет вычислить среднюю степень возбуждения каждого осциллятора при данной температуре Т, которая оказывается равной
Разумеется, это выражение определяет также распределение фононов, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна.
Используя это распределение, а также известное из опыта или вычисленное распределение частот колебаний, мы теперь можем непосредственно найти квантовомеханическое выражение для тепловой энергии системы.
Вычисление или измерение распределения колебательных мод по частотам позволяет заключить, что в твердом теле это распределение имеет ярко выраженный пик вблизи границы зоны Бриллюэна. Поэтому в первом приближении можно заменить реальный спектр колебаний набором 3N осцилляторов с одной и той же частотой, называемой эйнштейновской частотой (так как это приближение впервые было предложено Эйнштейном). В этом приближении полная тепловая энергия системы равна
пч~ 1р«>я/кт_1
ЗЛ/Лсод
424
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
Таким образом, теплоемкость определяется выражением
r dEtot 3 tf(i.a>*)»eft“E/JCr
dT KT*(eho*/KT-1)»’
которое графически представлено на фиг. 120. При высокой температуре это выражение, как это и должно быть, стремится к значению 3NK, определяемому законом Дюлонга и Пти. Напротив,
Ф н г. 120. Удельная теплоемкость решетки в приближениях Дебая и Эйнштейна.
Дебаевская температура обозначена буквой 6; она связана с эйнштейновской частотой
соотношением 6 = ha^JK.
при низких температурах теплоемкость экспоненциально падает до нуля.
Этот результат качественно правилен, однако вид кривой теплоемкости при низких температурах совершенно неверен. Ошибка коренится в использованной нами модели, так как в ней неявно предполагается, что при низких температурах тепловая энергия КТ много меньше колебательной энергии квантов Йю для всех мод. Из этого предположения и вытекает следствие, что числа заполнения для всех мод при низких температурах экспоненциально малы. В действительности же существуют моды со сколь угодно малыми частотами, и при низких температурах они играют важную роль.
