Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Netт „ _ р2
j = —-—%, если Е = - -—
т
2т
или б) записав функцию распределения в виде разложения
/=/o+/i+ /2+/3+ • • • по возрастающим степеням ?, вычислите fo, ft, fz и fs и покажите, что только /1 вносит вклад в ток.
5. Представим себе два одномерных твердых тела. Рассмотрим волновые функции с нулевыми граннчнымн условиями на поверхности, так что волновые функцнн суть синусоиды, а не комплексные экспоненты, причем число состояний, приходящихся на область волновых векторов dx, равно (21/я) dx, где множитель 2 возник из-за спнна, L — длина каждого тела и величина х всегда положительна. Будем считать, что зоны, отсчитанные от энергии Фермн, нмеют вид, показанный ниже:
Е,-сс (ж,-ге^
26*
404
Гл. 111. Электронные свойства
Вычислите туннельный ток между двумя телами как функцию приложенного напряжения:
2 ePi,2 (xi) К (xi) ~f‘ (x2>lt
Hi
где / (x) — функция распределения Ферми при Т — 0. Положите при этом, что туннельный матричный элемент Т%постоянен для электронов с одинаковым спнном.. Постройте график зависимости тока от напряжения.
6. Рассмотрим два идентичных одномерных металла с параболическими зонами при нулевой температуре.
а. Вычислите туннельный ток прн всех напряжениях, полагая, что коэффициент перехода Р не зависит от энергии.
б. Обратив внимание на пределы малых и больших напряжений, постройте график зависимости туннельного тока от напряжения в случае, когда туннельный матричный элемент считается не зависящим от энергии. (Множители типа 2 ненадежны, и их можно отбросить в данной задаче.)
7. Рассмотрим р — л-переход, показанный ниже:
Без смещения Смещение
Поля изменяются только в направлении х, хотя система трехмерная. Энергии с каждой стороны даются выражением
* Рш .
с = -4- минимум зоны.
Рассмотрим только электроны (без дырок). Если плотность электронов слева равна
т0 "0='Р‘ J J J Ae~1*'2mKT dpx dpv dpz,
а. Чему равна плотность справа?
б. Вычислите ток как функцию V. Учтите, что направо смогут прнйтн лишь те электроны, для которых р*/2т > Д — eV.
в. Постройте график результата и вычислите отношение тока при V = = 0,1 эВ к току прн V = —0,1 эВ при комнатной температуре.
8. Рассмотрите металл с плотностью ионов Яо — бпо прн х < 0 н Яо + + бло при х > 0 (л0 + бя0 и п0 — бл0 — константы). Используя линеаризованное (около п0 в первом порядке по бло) приближение Томаса — Фермн, найдите самосогласованный потенциал прн всех х н сопроводите полученный результат графиком. Считайте, что прн х = 0 поверхностный заряд не возникает, так что V н dVIdx непрерывны.
Этот результат соответствует зарядовой нейтральности на больших расстояниях от х = 0, но отличному от нуля локальному полю. Он качественно
Задачи
405
описывает поверхностный потенциал на границе металл — вакуум, но количественное совпадение плохое, так как соответствующая величина 6л0 не мала по сравнению с п0.
9. а. Рассмотрите проводник в однородном магнитном поле НА, направленном вдоль оси г. Для электрического поля низкой частоты й большой длины волны электронный ток н поле связаны соотношением:
* = ^-Ь-ЯЬхн,
где %, Ни j! —функции г и t.
Рассмотрим приложенное поперечное циркулярио-полярнзованное поле, распространяющееся вдоль Нд:
S=_i-^L, Д. (х -М Aaei(V-al\
с dt у 2
Это означает, что должен иметься некоторый внешний ток jn (скажем, ионный ток, связанный со звуковой волной), так как уравнения Максвелла требуют, чтобы
1 № 4я1
-V2A-f4--^5-А =
с1 dt2 с
(если V-A = 0, как это имеет место здесь, и нет накопления заряда).
Пр вложенное поле вызывает появление тока ji, который, как следует из уравнений Максвелла, приводит к появлению добавочных электрических полей. Решив задачу самосогласованно, получите поперечную диэлектрическую проницаемость е (q, ю, Нл), которая определяется как отношение приложенного поля к полному. Решайте эту задачу только в пределе <т -*? оо.
б. Найдите низкочастотные решения (ю qc) уравнения в = 0, соответствующие бесконечно большому отклику и, следовательно, возбужденным состояниям системы. Они называются «геликонами». Постройте их дисперсионную кривую ю (q) и вычислите частоту прн НА = 10* Гс, .V = = 10м см"3 н длине волны 1 см.
10. Рассмотрите систему с двумя квантовыми уровнями:
Я0|1> = ?||1>.
Яо|2> = ?2|2>.
Матрицу плотности можно тогда представить в виде разложения р (г, г', 0 = | 1) р„ (0 <1 И-1 1> р12 (0 (21 + ... .
Добавьте затем возмущение Н\, связывающее эти два состояния:
//||1> = Х|2>,
tfi|2> = X*| 1),
где
Ь = Хое-‘“'еа<.
а. Используя уравнение Лиувилля, найдите точные соотношения между четырьмя матричными элементами pjj.
б. Найдите вероятность заполнения состояния | 2) (т. е. р22) при t = 0 в низшем порядке по Х0, если при t = —оо
РИ = 1> Р12 = Рг I = р22= 0-
406
Гл. III. Электронные свойства
Постройте график зависимости р22 от ю.
11. Предположим, что на трехмерный электронный газ действует малый потенциал в виде ступеньки:
V(*) = Vo~!t ПРИ *>0,
= 0 при х<0.
Ясно, что в этом случае в электронной плотности возникнут осцилляции, похожие на фриделевскне. Получите асимптотический вид п (х)/п прн больших х.
