Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Торцы лазера изготавливают в виде параллельных отражающих поверхностей, которые «настраивают» его на желаемую моду. Лазер испускает очень интенсивный параллельный пучок света через одно частично пропускающее зеркало. Лазер, описанный выше, работает в непрерывном режиме. Во многих случаях накачка излучения производится импульсами и тогда импульсами же лазер испускает свет с частотой, меньшей частоты накачки. Ясно, что для того, чтобы прибор мог работать, необходимо должным образом подобрать скорость переходов и другие параметры. Ясно также, что имеется значительная свобода для изменения системы. Можно, например, заменить уровни F0 и Ft одним, сделав тем самым трехуровневый лазер. Наиболее изученная лазерная система предста-
§ 6. Теория ферми-жидкости Ландау
395
вляет собой кристалл А1203 с примесью хрома — рубиновый лазер. Во многих случаях в качестве примесей используют редкоземельные элементы; это мы и рассматривали в обсуждавшемся выше примере.
§ 6. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСГИ ЛАНДАУ |39]
Прежде чем оставить вопрос о роли электрон-электронного взаимодействия, следует кратко остановиться на теории ферми-жидкости Ландау, позволившей глубоко заглянуть в суть проблемы. Следует заметить, что эта теория была построена для объяснения свойств жидкого гелия-три. В равной мере она применима и к электронному газу. Теория демонстрирует всю мощь феноменологии. В противоположность микроскопической теории, такой, как многочастичная теория возмущений, в ней фигурируют параметры системы, которые следует постулировать и которые нельзя определить в ее рамках. В этом случае, однако, оказалось, что микроскопическая теория не в состоянии дать достоверные значения таких параметров, и поэтому для их определения в конечном счете требуется провести эксперимент.
Мы будем говорить о газе электронов на однородном положительно заряженном фоне и пренебрегать эффектами, связанными с электронным спином. Теория основана на трех предположениях, которые Ландау считал самоочевидными. Мы начнем с их перечисления.
1. Имеется взаимно однозначное соответствие между состояниями системы с взаимодействием и системы без взаимодействия. Волновые функции, отвечающие состояниям последней, представляют собой, конечно, плоские волны, о чем уже шла речь в связи с приближением самосогласованного поля. Системе с взаимодействием отвечают так называемые квазичастичные состояния. Существует, в частности, низколежащее квазичастичное состояние, соответствующее каждому из низколежащих возбуждений идеального ферми-газа.
2. Состояние системы полностью описывается зависящей от импульса р и координаты х функцией распределения п (р, х), такой, что величина
равна числу квазичастиц в бесконечно малом объеме пространства импульсов и координат. Мы использовали обозначение Ландау. Эта функция п (р, х) соответствует функции распределения f, которая использовалась в наших вычислениях кинетических свойств. Заметим, что такой подход отвечает квазиклассическому приближению. Однако для очень широкого круга проблем он слу-
396
Гл. III. Электронные свойства
жит очень хорошим приближением. В случае же однородного электронного газа он вообще не связан с каким-либо приближением.
3. Так как электроны имеют заряд —в, то и квазичастицы будут вести себя в поле, как частицы, обладающие зарядом —е.
Удивительно, как богаты следствиями эти предположения. Так как состояние системы полностью описывается с помощью п, то, следовательно, полная энергия системы должна быть функционалом от п (р, х). Подчеркнем отличие этого предположения от утверждения, что полная энергия есть функция только величины л; оио справедливо для газа без взаимодействия. В случае системы с взаимодействием энергия, связанная с данной квазичастицей, будет зависеть от заселенности других квазичастичных состояний.
Пусть возникла малая вариация бп (р, х) упомянутой функции распределения п (р, х), которая может быть, а может и не быть равновесной функцией распределения. Тогда соответствующее изменение энергии запишется в виде
где Е (р, х; п) — функциональная производная полной энергии по п (р, х). Эта добавка к энергии возникает благодаря увеличению числа квазичастиц в точке х с импульсом р в системе, которая имеет распределение п (р, х).
Величину Е (р, х; п) называют энергией квазичастицы. Эту величину можно рассматривать как гамильтониан дополнительной частицы и поэтому скорость последней равна дЕ (р, х; п)1др. Утверждение это не есть дополнительное предположение. Таким образом, плотность тока дается выражением
Поскольку квазичастицы ведут себя в поле подобно частице с зарядом — е, электромагнитные поля можно учесть в теории путем следующего изменения гамильтониана добавочных квазичастиц:
где А и ф — векторный и скалярный потенциалы соответственно.
Кроме того, отсюда следует, что число квазичастиц должно сохраняться, так как должен сохраняться заряд. Тогда п (р, х) удовлетворяет уравнению непрерывности и, как в классическом случае, можно получить уравнение Больцмана
6?=-р- j Е [р, х; п (р, х)] Ьп (р, х) сРрсРх,
