Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Оптические свойства
383
называются хвостами Ооке, а сам механизм есть аналог процессов Оже в атомах.
Следует также добавить, что имеются важные изменения формы .полосы излучения из-за частотной зависимости силы осциллятора. Легко увидеть природу этих искажений в рамках теории псевдопотенциала, если последовательно учесть его влияние во все более высоких порядках.
В нулевом порядке псевдоволновые функции суть просто плоские волны, но волновая функция, входящая в матричный элемент из (3.101), есть, конечно, не просто плоская, а ортогонализованная плоская волна. В рамках нашего обсуждения межзонных оптических переходов это эффект первого порядка, и мы включаем его в первое приближение. Можно переписать интересующий нас матричный элемент в виде
<^core I V I (1 —/>) I k>=- {^cote I v | к> — 51 <я|5СОге I ^ |/) </, /|к> =
t,}
- Ik (фсоге I к)- S (Фсоге |V|/)(/|k). (3.102)
В последнем выражении мы пренебрегли перекрытием волновых функций внутренних оболочек различных атомов.
Сейчас полезно остановиться на различии в вероятности излучения при переходе в s- и p-состояния внутренних оболочек. Для s-состояний матричный элемент (фсоге I к) очень слабо зависит от к. Кроме того, легко видеть, что второе слагаемое в (3.102) изменяется как нечетная степень k. Таким образом, сила осциллятора в этом случае, так же как плотность состояний на единицу энергии, пропорциональна k. Поэтому интенсивность, задаваемая выражением (3.101), изменяется как k3 или ?*/*, а не как ?‘/», что показано на фиг. 103. (Здесь Е = %2kV2m = йю — | eCOre I-) Этот результат был получен уже ранее, когда волновые функции валентной зоны были представлены в виде блоховских функций с периодическим множителем, не зависящим от k. Детальные численные расчеты, основывающиеся на соотношении (3.102), дают следующий результат: хотя показатель степени и меньше 3/2, но отличается от этой величины незначительно. Такие кривые для натрия, вычисленные с помощью соответствующего суммирования по состояниям, показаны на фиг. 104.
Если речь идет о состоянии внутренней оболочки p-типа, то величина (фсоге I к > пропорциональна k, и первое слагаемое в силе осциллятора изменяется как k2. Если мы пренебрежем слагаемым, возникшим из-за ортогонализации, то получим, что интенсивность изменяется как энергия в степени в/2. Однако если внутренние оболочки содержат p-состояние, в которое могут попасть электроны, эти оболочки всегда имеют и s-состояние. Поэтому соответствующий ему вклад во второе слагаемое (3.102) окажется не зависящим от k.
384
Г л. III. Электронные свойства
Таким образом, при малых волновых векторах (в этом смысле и фермиевский волновой вектор в простых металлах мал) интенсивность, согласно соотношению (3.101), растет в основном как ЕХ/г, что и показано на фиг. 103. Результат более точных вычислений
Ф н г. 104. Вычисленная для натрня интенсивность рентгеновского излучения (в произвольных единицах) прн условии, что состояния зоны проводимости описываются единственной ортогонализованной плоской волной.
Е измеряется от края излучения для каждого типа переходов, хотя энергия фотона па краю для разных переходов различна. Кривые для энергий Е, превышающих Ер, наблюдаются только при поглощении рентгеновских лучей.
для натрия показан на фиг. 104. Если бы мы попытались интерпретировать результаты измерений мягкого рентгеновского излучения в модели, где сила осциллятора — константа, то из измерений интенсивностей, отвечающих переходам в s- и p-состояния, мы получили бы отличающиеся друг от друга плотности состояний.
Займемся теперь поправками первого порядка к интенсивности (3.101), возникающими из-за использования вместо плоских волн псевдоволновых функций первого порядка. При их оценке можно опять, как и при вычислении оптических свойств, использовать псевдоволновую функцию непосредственно для вычисления матричных элементов. В соответствии с теорией возмущений следует просуммировать вклады от каждой грани зоны Бриллюэна. Каждую из этих поправок можно вычислить с помощью соответствующего усреднения по углам. Получающиеся поправочные множители имеют расходимость, возникающую вследствие обращения в нуль энергетических знаменателей. Поэтому такие поправки имеют смысл лишь вдали от особенностей. На фиг. 105 показан результат
§ 5. Оптические свойства
385
вычислений для плоскостей зоны Бриллюэна [111] в алюминии в предположении, что псевдопотенциальный формфактор не зависит от к. Поправки для каждой грани зоны Бриллюэна оказались достаточно малыми (около 3% для каждой плоскости), и использование теории возмущений можно считать оправданным. Однако,
1,2
| «. %
I
i ojg
I
Контакт
Плотность
Фиг. 105. Поправочные множители первого и второго порядков к интенсивности ls-поглощения в алюминии, возникающие из-за восьми [111] граней
зоны Бриллюэна.
Сплошная кривая — поправка .первого порядка, ее можно приписать нзменеииям силы осциллятора. Пунктирная кривая — поправка второго порядка, она может быть связана с изменениями плотности состояний. Энергия отсчитанная от минимума зоны,
