Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
6(?j — ?<> — ft©).
Этот результат был получен в отсутствие связи. Теперь мы займемся изменениями, вносимыми взаимодействием электрона с деформацией.
Снова в качестве начального состояния выберем основное состояние, волновая функция которого имеет вид
Фо(г)ф0(* — *о).
а в качестве волновой функции конечного состояния возьмем
Ф1 (г) фд
Мы можем снова вычислить матричный элемент, проделав сначала интегрирование по х:
<Ф» (г) фд (х — *i) | Н% | Фо (г) ф0 (х — х0)) =
= (Ф1 (г)|Я*| Фо (г)) (фд (х - х^ | ф0 (х- х0)).
Первый сомножитель тот же, что и раньше, но теперь интегрирование по х не приводит к бп0. Переходы возможны в такие конечные состояния, в которых решетка находится на любом колебательном уровне. Энергетическая дельта-функция принимает вид
б (?[ — ?' — ft© -)- ft©iat/l),
где ?о и Е\ — электронные энергии, сдвинутые на величину, подобную сдвигу энергии полярона:
Если мы вычислим поглощение как функцию частоты приложенного электрического поля, то увидим, что пики поглощения имеются как при «бесфононной» энергии
ftw = ?J — ?',
так и при энергиях, больших этой на nft©ut- Относительная амплитуда каждого пика дается величиной
| (фд (X — Xj) | ф0 (х—х0)) |2.
Чтобы провести связь с данной раньше качественной картиной, мы должны рассмотреть эти относительные амплитуды.
Рассмотрим сначала переход с п = 0. Это переход из основного состояния в наинизшее возбужденное состояние, и он соответствует
378
Г л. III. Электронные свойства
классической картине перехода, отмеченного стрелкой на фиг. 101. Такой переход, который мы исключали раньше, теперь разрешен, но его вероятность уменьшена на множитель, равный квадрату интеграла перекрытия сдвинутых волновых функций гармонического осциллятора. Физическая интерпретация этого уменьшения
Фиг. 101. Зависимость хлассичесхой энергии от исхажения решетки показана на верхней части фигуры вместе со схематическим представлением
перехода с п = 0.
Соответствующие волновые функции гармонического осциллятора показаны на нижней части фигуры.
Для выбранных здесь параметров квадрат интеграла перекрытия равен | <ф, (х — х,) | Ф. (х - t,)> | • = 0.2, так что искажение уменьшает вероятность соответствующего перехода в S раз.
совершенно ясна. Протяженность волновой функции гармонического осциллятора порядка амплитуды нулевых колебаний решетки. Переход может произойти, только если эти нулевые колебания обеспечат деформацию, необходимую, чтобы создать конечное состояние с характерным для него искажением решетки. Если это искажение мало или велика амплитуда нулевых колебаний, вероятность перехода будет близка к той, которая имеется в системе без вызванного электроном искажения решетки. Соответственно вероятность перехода в состояние с п ФО будет мала из-за того, что волновые функции соответствующих осцилляторных состояний
§ 5. Оптические свойства
379
почти ортогональны. В терминах медленных и быстрых переходов, обсуждавшихся ранее, нам следует сказать, что этот переход медленный.
Интересно отметить, что в самом общем случае сумма квадратов сил осциллятора по всем конечным состояниям не изменяется при изменении формы конечных состояний, так как они вместе с начальным состоянием образуют полную систему. Это легко показать, просуммировав квадрат силы осциллятора по всем возможным конечным состояниям ?/, отличным от начального состояния MV
S'' (W01 H% I W,) (W, I Ht I W0) = (W0 \H%H%\ Wo) --(Wo\H%m{Wo\H%\Wo).
Здесь мы воспользовались соотношением полноты
^ i»/)
В нашем случае
<^о|Я*|У0) = 0 (Vo\H%\W0)
не зависит от константы связи. Это правило сумм может оказаться очень полезным и содержательным. Сразу видно, что если вероятность перехода с п •= 0 очень близка к той, которая была бы в отсутствие связи, то правило сумм «исчерпывается» слагаемым с п = О, и на долю переходов сп#0 остаются очень малые силы осциллятора.
Можно рассмотреть также другой предельный случай, когда разница в искажении xt — х0 так велика, что необходимая для этого амплитуда нулевых колебаний оказывается крайне маловероятной. Такая ситуация имеет большее отношение к задаче о F-центрах. Переход с п = 0 становится совсем маловероятным и правило сумм требует, чтобы шли переходы с п ФО. Если величина — х0 велика, то ясно, что интеграл перекрытия
(фп (x—Xi) | фо (х-х0))
мал не только при п = 0, но и вообще для малых п. Следовательно, должны идти переходы с большими п. Это наводит на мысль, что здесь мы получим указанный ранее классический предел, т. е. электронные переходы будут «быстрыми» по сравнению с движением решетки. Можно подробно убедиться в этом, рассматривая интегралы перекрытия. Для больших п огибающая волновых функций гармонического осциллятора задается квадратным корнем из классического распределения вероятности для осциллятора с данной энергией. Мы видим, что перекрытие окажется большим только
380
Гл. III. Электронные свойства
для п, соответствующих классической амплитуде, равной .Vj — х0. Это показано на фиг. 102. Такие состояния имеют энергию, соответствующую вертикальному переходу Еа на фиг. 100. Как и следовало ожидать, мы вернулись к классической картине, представленной на фиг. 100, и к переходам, которые, говоря об оптическом поглощении, можно считать быстрыми. Критерием этого
