Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
2-тЙг f <3-94>
q/ 2- ты/hq
если выполнено соотношение (3.91), т. е. если правая часть соотношения (3.94) положительна. Это приводит нас к следующему выражению для проводимости:
"»?- 2 w I <ь+ ч Iw гк> !’?* Г» -(г -т? I1‘] •
(9J
(3.95)
где суммирование ведется по всем значениям q, удовлетворяющим условию (3.91). Вклад от одного вектора обратной решетки показан на фиг. 96, и его надлежит добавить к выражению для проводимости Друде.
§ 5. Оптические свойства
365
Наш результат можно считать лишь полуколичественным из-за приближенного рассмотрения псевдопотеициала. Кроме того, мы допускали ошибку, так как основывались на формуле для невзаимодействующих электронов. Хопфилд 126] указал на то, что в слабом решеточном потенциале эффекты электрон-электрон-ного взаимодействия можно учесть, сделав простое изменение выражения (3.95). Безусловно, мы включили бы часть вклада
Ф и г. 96. График действительной части оптической проводимости, возникающей из-за межзонного поглощения около грани зоны в щелочном металле.
Вклады от каждой грани зоны следует добавить к выражению для проводимости Друде и тем самым получить полную оптическую проводимость. (i>o — частота, отвечающая краю поглощения.
от электрон-электронного взаимодействия, если бы воспользовались экранированным псевдопотенциалом. Для локального псевдопотенциала можно записать матричный элемент в уравнении (3.95) через неэкранированный псевдопотенциал И/0, воспользовавшись статической диэлектрической проницаемостью:
I (k + q [ Ц^| к) |2 -* 1<к^(^|»к>--- (З-96)
Хопфилд показал, что точный учет электрон-электронного взаимодействия приводит к выражению (3.95), в котором, однако, нужно совершить замену
1»+ЧГ|ВГ~ '*gp •
а не ту, которая определяется соотношением (3.96). Экранирование псевдопотеициала в этом случае дает тот же результат, как если бы псевдопотенциал осциллировал во времени с частотой света. Эта поправка к межзонному поглощению мала, так как диэлектрическая проницаемость в любом случае при интересующих нас q близка к единице (обычно в пределах 25%).
Уравнение (3.95) дает качественную картину вблизи края межзонного поглощения в щелочных металлах с ошибкой приблизительно в 4 раза. Использование нелокального псевдопотеициала уменьшает расхождение до 2 раз. Напомним, что ошибка может возникать из-за произвольности в выборе псевдопотеициала или из-за той неточности, которая возникает вследствие вычисления а33 в наинизшем порядке по псевдопотенциалу. Как было показано в п. 1 § 5 гл. II, эти два источника ошибок эквивалентны.
Выражение (3.95) непосредственно применимо и к жидким металлам [25]. Сумму по всем векторам обратной решетки следует
366
Гл. III. Электронные свойства
заменить интегралом по всем волновым векторам q, а вместо | <к + Я I W I к) |а нужно подставить
S*fo)Sfo)|<k + qja»|k>|*.
Аналог межзонного поглощения в твердом теле возникает здесь из-за характерных для жидкости пиков в S* (q) S (q). Кроме того, вычисление автоматически приводит и к выражению для проводимости Друде с временем рассеяния, обусловленным свойственным жидкости беспорядком.
В случае поливалентных металлов межзонное поглощение имеет совершенно другой вид. Переходы, идущие с тех граней зоны Бриллюэна, которые не пересекаются поверхностью Ферми, по-прежнему описываются соотношением (3.95). Для тех же переходов, которые происходят с граней зоны Бриллюэна, пересекаемых поверхностью Ферми, требуется специальное рассмотрение.
В этом случае поглощения в симметричных точках, как правило, не возникает. Анализ несколько усложняется из-за геометрии. Можно рассмотреть простейший случай, когда поверхность Ферми, найденная в приближении слабой связи, частично перекрывает грани зоны Бриллюэна, как это показано на фиг. 97. На фиг. 97, а изображена поверхность Ферми в схеме расширенных зон, а на фиг. 97, б — в схеме приведенной зоны Бриллюэна. Межзонное поглощение идет лишь тогда, когда в нижней зоне состояния заняты, а в верхней — свободны. Если в точке L обе зоны заняты, то поглощения в этой точке не происходит. Оно, однако, может возникнуть на грани зоны, в области, отмеченной на фиг. 97, б. Если смотреть прямо на грань зоны, то видно, что эта область имеет форму круговой ленты, лежащей на грани зоны. Поглощение может иметь место и дальше в зоне Бриллюэна. Однако здесь энергетические зоны быстро расходятся, и поэтому край поглощения определяется величиной запрещенной зоны при волновых векторах, лежащих в области этой ленты. Изучая зонную структуру простых металлов, мы видели, что запрещенная зона в этой области равна просто удвоенному значению соответствующего OPW формфактора (для простых металлов с одним атомом на элементарную ячейку). Поэтому край поглощения будет находиться при энергии, равной удвоенному формфактору для граней зоны Бриллюэна, пересекаемых поверхностью Ферми. Легко получить зависимость проводимости от частоты вблизи края поглощения [27]. Она имеет вид
Ima33 =--------------------- т— для fc(i>>2|(k + q|UP|k}|,
(Лш—2|<k-i-q| ИЛЮ!)1'*
где А — константа. В противоположность одновалентным металлам в данном случае положение края поглощения чувствительно к величине самого псевдопотенциала и поэтому вычисления менее надежны.
