Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Ф» = (1 — Р) Ф» = I к) - Р | к) + 2 |k" q^+'gW 1 к>
ч
и
=<рг* (1—р)=<к? |—(кг | р+2<к<+q> 1 w 1 ек,)*<k'+q' 1.
, ek---h'-^q’
9
Мы должны вычислить (\|v | V | фй) в первом порядке по W. Слагаемые типа PW появляются лишь во втором порядке и потому их можно опустить. Как и в случае расчета экранирования, слагаемое порядка Р2 требует специального рассмотрения. Оно дается выражением
(к'| PVP | к) = 2 <к' | а) <а | V | р) ф | к), а, 0
Матричный элемент (а | V | р) можно переписать из книги Шиффа [23] в виде
(k' I PVP I к> - 2 —г (** -1е<») <а Iг I Р> <к' I а> I к>*
а, 0
Если все состояния внутренних оболочек s-типа, то этот матричный элемент обращается в нуль. Если это и не так, то в пределе малого радиуса внутренних оболочек он оказывается малым, поскольку величина (а | г | р) порядка радиуса внутренних оболочек. Таким образом, у нас имеется основание для того, чтобы пренебречь этим слагаемым как поправкой более высокого порядка. В результате остается лишь матричный элемент
<4>»-|T|%) = ik' (» -(k'|P|k))-
-*( {Т-ч-' +<t'|P||‘>).
Сравнивая его с соотношением (3.71), мы видим, что выражение в первой скобке имеет вид сопряженного псевдопотеициала:
(к'\У\Ъ) ,.гм»цг, <к' | УР4-1 к) е*-ел. I I I > eft_eA, •
360
Гл. III. Электронные свойства
Выражение во вторых скобках можно свернуть подобным же образом, используя уравнение (3.62) для W:
jy^+(k1P|k)=jnEiJiL.
ek~ek' eft eV
Наконец, отметим, что вклад в оптическую проводимость (3.87) дают лишь такие начальные и конечные состояния, для которых
| е**—ел | = Яш
(вычисляя матричный элемент, мы пренебрегаем отличием между разностью энергий в нулевом порядке и действительной разностью энергий), так что
I <4V | V | ф„>1 = -L.| к' (к' | W*| к)-к <к' | W| к) |. (3.88)
Если W — простой потенциал, то в этом случае W и W* совпадают друг с другом и выражение (3.88) можно упростить:
|<^|Vk*)|»|i^<k'|^|k>|. (3-89)
Этот результат получен в приближении почти свободных электронов [24]. Тем не менее точное выражение (3.88) может изменить результат вдвое [25] и улучшить согласие с экспериментом.
Уравнения (3.87) и (3.88) правильно учитывают влияние статического псевдопотенциала на оптическую проводимость. Их можно использовать и для неупорядоченных структур, где псевдопотенциал вызывает рассеяние. Расчет приводит к результату Друде. Эти уравнения можно также использовать для нахождения влияния периодического потенциала, который приводит к появлению меж-зонного поглощения, возникающего как в металлах, так и в полупроводниках и изоляторах.
Сначала кратко рассмотрим рассеивающий псевдопотенциал, чтобы сопоставить формулу Кубо — Гринвуда и результат решения кинетического уравнения. Для этого нужно выразить время рассеяния через параметры соотношений (3.87) и (3.88). Это легко сделать, если Йш гораздо меньше расстояния между поверхностью Ферми и как начальным, так и конечным состояниями. (Неучтенные вследствие сделанного нами допущения эффекты представляют собой поправки к приближению времени релаксации в кинетической теории.) В этом случае разницей между W и W* можно пренебречь и становится справедливым соотношение (3.89) для матричного элемента. Разность волновых векторов входит в проводимость в квадрате, и для изотропной системы, если частота достаточно мала и можно пренебречь разницей модулей векторов кик', можно
§ 5. Оптические свойства
361
написать
(fe.x-&)2 = i-|k-k'[a = 2*a0-cose) ^
Через 0 обозначен угол между кик'.
Суммирование по всем к' приводит именно к той формуле, включая даже множитель (1 — cos 6), которую мы получили ранее для времени релаксации, входящего в проводимость. Отличие состоит лишь в том, что дельта-функция по энергиям содержит энергию ftw, которой можно пренебречь по сравнению с энергией Ферми. Заметим, что пренебрежение разностью энергий начального и конечного состояний, сделанное нами дважды, становится совершенно верным, если устремить ft к нулю, и, следовательно, находится в соответствии с классическим рассмотрением, приводящим к формуле Друде.
Тем не менее мы должны удерживать эту разность энергий в функциях распределения, фигурирующих в выражении (3.87). При абсолютном нуле величина fh (1 — fh?) отлична от нуля лишь в энергетическом интервале fto>. Таким образом, в сумме по к мы получим множитель я(?)й<о. Для газа свободных электронов он равен 3Nhca/2EF. С учетом всех этих обстоятельств находим
<3-90>
Напомним, что выражение Друде для проводимости имеет вид
.Vt,2T
(1 -(-со**2) т
Но наши вычисления были проведены в наинизшем порядке по 1/т, и формула Друде в том же приближении дает выражение (3.90). Путь, выбранный нами для получения результата Друде, весьма сложен, однако он показывает общую применимость уравнения (3.87), выявляет, какие пренебрежения соответствуют приближению времени рассеяния, и устанавливает соответствие между различными используемыми подходами.
4. Межзонное поглощение
К возникновению поглощения может приводить и псевдопотенциал идеального кристалла. Для щелочных металлов этот факт составляет основу теории межзонного поглощения.
