Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
/о (V)- fo (eft) „
Р**'* = е)," — Т^ — Йы—1ЬаГ Mik'h'
Здесь ек — энергия состояния с волновой функцией фй. Гамильтониан Hi теперь соответствует однородному приложенному полю, хотя сама система в нулевом порядке и неоднородна. Чтобы получить выражение для проводимости, найдем усредненную по пространству плотность тока. В низшем порядке по векторному потенциалу оператор плотности тока равен
1 eh -
о im
и в нулевом порядке, т. е. для невозмущенных состояний, тока нет. Поэтому, согласно (3.45), плотность тока определяется выражением
<ю=2р..,<*|—Йг ?!?»•)-
А, А'
^ /о(еА’) /о(?а) . , __, . ... г тт I I \ *
-“ЖгЗ ? е-.-ёА-Пы-Ша I v 1 »*> W»' I V I MS-
A, A'
Отсюда можно немедленно получить формулу для тензора проводимости о и, так как
</>/ = °U$J-
§ 5. Оптические свойства
357
Мы ищем действительную часть проводимости при а О, т. е. мнимую часть суммы, стоящей в выражении для (j). Вычисляя действительную часть этой суммы (для to = 0), мы видим, что роль а сводится к тому, что в той точке, где знаменатель обращается в нуль, интеграл следует брать в смысле главного значения [уравнение (3.53)1. Для вычисления мнимой части учтем, что благодаря энергетическому знаменателю выражение под знаком суммы ведет себя как дельта-функция. Чтобы убедиться в этом, заметим, что величина
. [~ /0 (efe-) — /О (eh) 1 .t /о (gft') — /о (Eft)
mL eft. —Eft —Лш—«Да J — 1 lCl (ek. — е* — До>)г + Л*аг
имеет резкий пик при
ел—е* — йм = 0.
Кроме того,
6
Ihadx . х I»
**+(Ла)* “ 3 ® Да |а -*?
а
если blha велико, a alha — большая и отрицательная величина. Таким образом, когда Да стремится к нулю, весь вклад в интеграл по энергиям дает в основном та область, где энергетический знаменатель обращается в нуль, и этот интеграл равен л, умноженному на оставшиеся сомножители. Итак, мы видим, что действительная часть проводимости определяется выражением
HmReao = -^^-2 I/o («*•) — /о («*)1 х
h
X (Ч>Л IV,-1 фк-> <1|V I Vy I фк> б (еА- — eft — Тнл).
Этот результат можно записать в более удобном виде, используя тот факт, что
/о («*') — /о (е«<) = /о (ел-) [ 1 — fo (бк)1 — /о (ek) 11 — /о (е/(-)1 •
Так как сумма берется по всем к и к', то их можно поменять местами в той сумме, где стоит первое слагаемое последнего выражения. Тогда мы получим
Пт Re аи = 2 fo Ы [ 1 - /о (е*-)1 х
V, h
X [ — <фк | V,-1 фк') <фк* | I фк>] • [6 (бк' — бк — Тио) — б (вк— ей + Дш)1.
(3.87)
Это есть так называемая формула Кубо — Гринвуда [21, 22] для действительной части проводимости, поскольку ее можно найти как одноэлектронное приближение точной формулы, полученной Кубо и Гринвудом.
358
Гл. III. Электронные свойства
Такая форма записи удобна для понимания физической сути. Действительная часть проводимости определяет переходы и поглощение энергии, и полученный результат можно понять, рассматривая эти процессы. Вклад в проводимость возникает от состояний к и к', которые связаны матричным элементом возмущения (3.86), причем состояние к должно быть занятым электроном, а состояние к' — свободным. Вклад данного перехода в проводимость положителен, если
8к’ = ек + П(й,
т. е. происходит поглощение фотона. Если же
8*' = 6ft — Йш,
т. е. происходит испускание фотона, то вклад от такого слагаемого отрицателен. (Заметим, что величина —(фЛ | V| |ф*') (ф*-1 V} при i = / положительна; это легко проверить, проинтегрировав любой из матричных элементов по частям.)
Формула (3.87)—весьма общее выражение для проводимости, приложимое к широкому классу систем. Она применяется даже при вычислениях поглощения света атомными системами, хотя в этом случае энергетический спектр дискретен, и для того, чтобы можно было пользоваться энергетической дельта-функцией, приходится вводить пакет по частотам света. Особый интерес представляет ее использование для различных типов твердых тел.
3. Простые металлы
Как хорошо известно, свободный электрон не может поглотить один фотон. Это невозможно, так как при таком поглощении не могут одновременно выполняться законы сохранения энергии и импульса. Такое утверждение в равной мере справедливо как для нерелятивистских, так и для релятивистских электронов. Этот факт отражен в уравнении (3.87), где, как легко заметить, матричный элемент tyk' I V | ф*) обращается в нуль при к' ф к, если волновые функции — плоские волны. Поглощение Друде, рассмотренное раньше, оказалось возможным благодаря рассеивающим центрам, которые могут отнимать импульс при поглощении. Подобным же образом, когда имеется периодический кристаллический потенциал, решетка может отнять импульс и разрешить поглощение. В обоих случаях, если пользоваться теорией возмущений, что обычно и делают, дополнительный потенциал можно представить с помощью псевдопотенциала. Обратимся теперь к решению этой проблемы.
Как было показано при обсуждении экранирования псевдопотенциала, метод решения состоит в получении выражения для интересующего нас свойства (в данном случае это проводимость) через волновые функции и энергии с последующим вычислением
§ 5. Оптические свойства
359
этих функций и энергий, основывающимся на теории псевдопотенциала. Здесь выражение для проводимости задается соотношением (3.87). Сначала мы займемся вычислением матричных элементов. Все, что будет делаться, очень похоже на вычисление экранирования. В первом порядке для псевдопотеициала (напомним, что оператор проектирования порядка W) имеем
