Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
23-0257
354
Гл. III. Электронные свойства
мость. Это приведет к изменению распределения поля близ поверхности; такое явление называется аномальным скин-эффектом.
Пиппард [19] предложил качественное рассмотрение этой ситуации, выделив область поверхности Ферми, в которой электроны дают эффективный вклад в ток, и отбросив вклад остальных электронов. Это так называемая концепция неэффективности. Расчет эффекта для поверхности Ферми эллипсоидальной формы был выполнен в работе [20]. Оказывается, что отклик системы позволяет измерить кривизну эффективного участка поверхности Ферми, так как именно эта кривизна и определяет число эффективных электронов. Аномальный скин-эффект интересен сам по себе, но его анализ не является целью, которую мы преследуем.
В отсутствие аномального скин-эффекта задача об оптических свойствах делится четко на две части. Для дайной частотной зависимости проводимости можно сшить волны, распространяющиеся в пространстве вне материала, с волнами, затухающими в материале. Мы получим точное выражение для коэффициента отражения через комплексную проводимость. Подобным же образом можно вычислить и коэффициент прохождения через тонкую металлическую пленку. Измерение этих двух величин позволяет нам определить как действительную, так и мнимую части проводимости. Эта сторона задачи представляет собой часть классической теории оптических свойств.
Вторая часть задачи состоит в определении комплексной проводимости, исходя из свойств реальных материалов. Этот вопрос входит в сферу физики твердого тела, и именно им мы будем заниматься в дальнейшем.
2. Проводимость в оптическом диапазоне частот
В общем случае поглощенная световая энергия выделяется в проводнике в виде джоулева тепла, которое равно произведению тока на электрическое поле в той же точке. Когда мы можем определить локальную проводимость, как это было сделано здесь, ток будет равен произведению проводимости а на электрическое поле. Джоулево тепло зависит только от компоненты тока, находящейся в фазе с электрическим полем, и поэтому определяется лишь действительной частью проводимости. Для действительной части проводимости в случае газа свободных электронов в п. 2 § 4 было получено следующее выражение:
К'ИО, «И—г^г.
Использование этой формулы соответствует теории оптического поглощения Друде и дает хорошее согласие с экспериментом в случае поглощения длинных волн в простых металлах.
§ 5. Оптические свойства
355
Этот результат, конечно, применим только в случае газа свободных электронов. В реальных металлах, а также в полупроводниках и изоляторах нас интересует отклик более сложной системы и требуется более общая формулировка.
Сначала проведем вычисления для системы невзаимодействующих электронов с произвольным спектром одноэлектронных состояний. Здесь оказывается возможным компактное описание состояний системы и, что более важно, простое ее описание в присутствии поля. Введем классическое электрическое поле
S = $0e4i
где вектор $0 постоянен и перпендикулярен q, и будем искать отклик в такой же форме. Трудность в случае неоднородной системы, например периодической решетки, заключается в том, что приложенное поле определенного вида вызывает отклики с такой же временной зависимостью, но с пространственной периодичностью системы. Такие токи не дают вклада в поглощение энергии, так как усредненное по пространству-произведение $?] окажется в этом случае равным нулю. Тем не менее для взаимодействующих электронов плотность зарядов, созданная этими токами, приводит к возникновению потенциала, который вместе с приложенным полем вызывает переходы между разными электронными состояниями и тем самым приводит к поглощению. Как мы увидим в п. 4 настоящего параграфа, указанный эффект очень мал. Нужно отметить, что эту коварную тонкость очень легко упустить из виду, как это в действительности и было в течение многих лет и часто случается до сих пор. В теории твердого тела с такими деталями следует быть очень осторожным, особенное тех случаях, когда, казалось бы, хорошая теория не согласуется с экспериментом.
Для невзаимодействующих электронов нет необходимости делать различие между приложенным и полным электрическими полями. Простейший способ учета электромагнитного поля состоит в замене оператора импульса в гамильтониане оператором
где А — векторный потенциал, равный
А0е1<в-г-®,>
и
« 1 дА
® Г~дГ’
Как и ранее, мы обозначаем заряд электрона через —е. В интересующих нас ситуациях вектор q настолько мал, что им можно всегда пренебречь. Написав часть гамильтониана, соответствующую кинетической энергии, получим, что в первом порядке по полю воздей-
23*
356
Гл. III. Электронные свойства
ствие электромагнитной волны на систему описывается гамильтонианом
//,= - —A-V = —— g.V. (3.86)
1 тс ты ' '
Для возмущения такого вида можно искать отклик системы, используя матрицу плотности, исходя, однако, из одноэлектронных волновых функций а не из плоских волн:
Ра-а(/) = j dr ^г'ф?» (г) p (г, г', О'МО
и
Hwh=* S• j dnJjJ. (г) ТфЛ (г).
Матричный элемент Hik'k без множителя S называется силой осциллятора для перехода из ф& в фЛ-. Использование волновой функции Фа в общем виде позволяет нам рассматривать как изоляторы и реальные металлы, так и газ свободных электронов. Уравнение (3.49) годится и здесь и дает поправку первого порядка к матрице плотности:
