Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Как и прежде, для упрощения задачи «заморозим» решетку, или, что то же самое, зафиксируем мгновенные положения ионов. Также для упрощения расчетов будем считать, что в примитивной ячейке кристалла содержится лишь один атом. При колебании решетки с волновым вектором Q смещения ионов от положения равновесия определяются выражением
6г / = eiQ,TJ + -&=- е~ iQ'TK 1 ууу ^ У N
(Мы воспользовались прописной буквой Q, чтобы отличить волновой вектор фонона от произвольного волнового вектора q.) Будем считать, что векторы амплитуд не зависят от времени. Можно было бы рассматривать зависимость амплитуд от времени, но это привело бы просто к тому, что полученные в конце матричные элементы зависели бы от времени. Подставляя положения ионов гj -г б Г; в выражение для структурного фактора и разлагая экспоненты по малым амплитудам uQ, получаем
5 ^ etCl ri+U‘у Ys) е ,Q rj] _
i
Первый член в этом выражении совпадает со структурным фактором при отсутствии искажений решетки. Для решеток с одним атомом на примитивную ячейку этот член равен единице, если q совпадает с одним из векторов обратной решетки, и равен нулю для остальных значений q. Члены первого порядка по Uq определяют электрон-фононное взаимодействие. Их можно записать в виде
_.<C*‘U4 1 ЛП „-Hq-Q) r, ‘4-4$ 1 yi „-i(q+Q) r,
у ft/ Л' 2j e -1/Л1 'V "
j i
где суммирование производится по положениям ионов в идеальной решетке. Поэтому сумма в первом члене отлична от нуля лишь в том случае, если вектор q — Q совпадает с одним из векторов
обратной решетки, при этом значение суммы равно N. (Векторы
обратной решетки в дальнейшем будем обозначать символом q0.) Аналогично вторая сумма отлична от нуля лишь для значений q + Q, совпадающих с векторами обратной решетки. Таким образом, полученные матричные элементы электрон-фононного взаимодействия отличны от нуля лишь для волновых векторов, являю-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
443
щихся сателлитами волновых векторов решетки идеального кристалла, как это показано на фиг. 125.
Эти матричные элементы определяют не только рассеяние электронов, но и сдвиг энергии электронных состояний. Мы рассмотрим оба эффекта. Сначала изучим рассеяние, пользуясь зависящей от времени теорией возмущений. При использовании метода псевдопотеициала в качестве нулевого приближения для состояний
о о о о
• • • • •
о о о о
Фиг. 125. Волновые векторы обратной решетки идеального кристалла
и их сателлиты.
Светлым кружкам соответствуют дополнительные, отличные от нуля структурные факторы, возникающие при наличии колебания решетки с волновым вектором Q. Черные кружки изображают векторы обратной решетки при отсутствии искажений решетки.
выбираются псевдоволновые функции, соответствующие плоским волнам. Введенная нами единственная мода колебаний порождает, как ясно из предыдущего, много матричных элементов и тем самым связывает любое заданное состояние нулевого приближения со многими другими.
Рассмотрим сначала волновые векторы — сателлиты нулевого вектора обратной решетки qo = 0. Матричный элемент электрон-фононного взаимодействия при q = Q, очевидно, равен
S(Q) <k + QMk)=^^<k + QMk).
Отметим, что если моды колебаний можно разделить на чисто продольные и чисто поперечные, то отлично от нуля лишь взаимодействие с продольной модой. Формально этот результат совпадает с полученным в теории потенциала деформации, если заменить константу потенциала деформации на взятый со знаком «минус» формфактор. Первый множитель в выписанном выражении совпадает со взятым со знаком «минус» объемным расширением. В рас-
444
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
сматриваемом случае константа потенциала деформации зависит от волнового вектора фонона. При большой длине волны фонона формфактор стремится к значению — 2/3Ер. Таким образом, константа продольного потенциала деформации стремится при большой
Ф и г. 126. Рассеяние с перебросом.
Электрон переходит из состояния с волновым вектором к в состояние с волновым вектором к', отличающимся от к на сумму q0 + Q. где Яо — вектор обратно!) решетки, a Q — волновой вектор колебания решетки.
длине волны к значению 2/3ЕF. Рассеяние электронов в металлах, связанное с волновыми векторами — сателлитами нулевого вектора обратной решетки, называется нормальным рассеянием.
Можно также рассмотреть рассеяние, связанное с волновыми векторами — сателлитами ненулевых векторов обратной решетки. Такие переходы называют процессами переброса (Umklapp). На фиг. 126 показано, как такие переходы могут вызывать перебросы электрона из одной точки поверхности Ферми в другую. В этом случае матричный элемент электрон-фононного взаимодействия имеет уже не столь простой вид, но он определяется непосредственно:
Un
S(q) (k + q | до | k) = — i (q0 + Q).-^=-(k + q0 + Q|iiy|k).
В этот матричный элемент дают вклад как продольные, так и поперечные моды даже в том случае, когда они разделяются на чисто продольные и чисто поперечные. В процессе рассеяния такого типа изменение волнового вектора электрона равно сумме волнового вектора фонона Q и вектора обратной решетки. Таким образом, даже длинноволновые фононы могут рассеивать электрон на очень большие углы. По этой причине процессы переброса часто дают основной вклад в удельное сопротивление.
