Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
30-0257
466
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
поглощением одного фонона, пропорциональна числу фононов nq. Заметим, что 6-функция, определяющая сохранение энергии, имеет вид
6 (Е2 — Et) = 6 (е*, — е*| — | |),
т. е. зависит как от разности энергий электронов в состояниях | 2) и 11), так и от разности энергий фононов.
Аналогично вычисляется вероятность процесса с испусканием одного фонона. Она получается из выражения для вероятности поглощения заменой nq на + 1 и заменой
б(е*,—e*t — |ft<o,|)
на
б(е*,—еЛ1 + |Й<о_,|).
Вычислив матричные элементы, нетрудно найти вероятность рассеяния в единицу времени. Для этого достаточно просуммировать выражение для вероятности перехода 14.51) по всем конечным состояниям.
Учитывая оба процесса, в которых электрон переходит из состояния |к> в состояние |k + q), получаем
р*. =?т-иг- 1п«б е*_| I >'+
+ (л,+ 1)6(еЛ+, —eft + |fto)_,|)]. (4.52)
Чтобы найти вероятность рассеяния при взаимодействии с фононами, достаточно теперь подставить сюда выражение (4.50) для У,. Полученным результатом можно пользоваться как в случае полупроводников, так и в случае простых металлов. Полезно рассмотреть некоторые предельные случаи.
Заметим сначала, что рассеяние может происходить и при отсутствии фононов в начальном состоянии благодаря тому, что множитель ti-q + 1 никогда не обращается в нуль. Это означает, что электрон может испустить фонон, если только имеется незанятое состояние с энергией eh+?, меньшей энергии eh на величину | hсо_, |. Конечно, если электронный газ находится при нулевой температуре, то такой переход невозможен, но для «горячих» электронов это вполне возможно.
Наличие такой зависимости от электронной функции распределения заметно усложняет расчет времени релаксации для проводимости (см. [8]). Оказывается, однако, что для получения правильного выражения для проводимости достаточно заменить в соотношении (4.52) n.q + 1 на n-q. Отметим также, что энергия фонона ftojq обычно много меньше энергий электронов, участвующих в рассеянии, и поэтому рассеяние можно считать почти упругим, т. е.
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
467
В этом можно убедиться, если учесть, что
Йю, = %qv„
где vв — скорость звука. Энергия электрона равна
Л*** _ Kkve
2т ~ 2 ’
где ve — скорость электрона. Но скорость электронов много больше скорости звука v* (электроны, движущиеся со скоростью звука ~108 см/с, имеют энергию всего 10“6 эВ), a q ^ 2k, так что энергия Jiqvt значительно меньше характерной энергии электронов даже в полупроводнике. Поскольку изменение энергии электронов столь мало, во многих случаях (включая вычисление проводимости) можно пренебречь членом Йю в аргументе 6-функции. (Разумеется,
это приближение нельзя использовать в том случае, когда изу-
чаются потери энергии «горячими» электронами.) Пренебрежение энергией й<о в 6-функции эквивалентно замене колеблющейся решетки статически деформированной решеткой. Мы, таким образом, нашли, что переходы являются «быстрыми» по сравнению с временем, характерным для движений в решетке (ср. с обсуждением, приведенным в п. 6 § 5 гл. III).
Выпишем первый множитель в выражении (4.52), пользуясь соотношением (4.50):
2я 1^1* 2я Whq* _ 2л ^ q
Л N UN 2M<s>q ~ UN 2Mv\ '
При использованных нами аппроксимациях скорость рассеяния (4.52) приобретает вид
h+9 =Цдйю^б (ел^—в*). (4.53)
Замечая, что я,Й<о, — тепловая энергия q-й моды и что отношение этой энергии к Mvl равно квадрату соответствующей амплитуды объемных расширений, мы приходим к выводу о допустимости классической трактовки решетки, которая приведена в п. 1 настоящего параграфа. Записью вероятности рассеяния в виде (4.53) удобно пользоваться для изучения различных предельных случаев. Рассмотрим сначала высокотемпературный предел, в котором
КТ » Йсо,
для всех существенных мод, т. е. температура значительно больше дебаевской. Тогда я,йюд можно заменить на КТ. Вероятность рассеяния, определяющего проводимость, вычисляется без труда. Обозначив угол между векторами к и q через 0 и заметив, что обычный весовой множитель 1 — cos 0 х), где 0 — угол между
*) Этот множитель введен в п. 6 § 8 гл. II, а в п. 3 § 5 гл. III мы полу-
чили его из формулы Кубо — Гринвуда.
30*
468
Г л. IV. Колебания решетки и атомные свойства
к + q и к, равен — {qlk) cos в, получаем 4 =2-^.A+9f с°5в =
= (1^1ГЖГ J (^r-cose)6[-^-(2^cose + ^)]x
2ft
X sin 0 dQ2nq2 dq = j fdq =
= <454>
Отметим, во-первых, что время релаксации для рассеяния на колебаниях решетки зависит от энергии рассеиваемого электрона I множитель k в (4.54)]. В противоположность этому в уравнении Больцмана использовалось предположение о независимости времени релаксации от энергии. Интересно отметить, что при сделанных нами допущениях средняя длина свободного пробега %kxlm не зависит от энергии. Этот случай наиболее типичен, но никоим образом не универсален.
Во-вторых, отметим, что в случае простых металлов, для которых время релаксации вычисляется при энергии Ферми, можно ввести единственное значение времени рассеяния т, которое обратно пропорционально температуре. Отсюда вытекает, что при высоких температурах сопротивление линейно зависит от Г; это наблюдается на опыте.
