Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Взаимодействие. При рассмотрении удельной теплоемкости описанный формализм практически не нужен, достаточно знать лишь результаты, выраженные формулами (4.25) и (4.41). Использование всего формализма становится необходимым только в том случае, когда нас интересуют состояния системы, которые необходимы, например, для получения электрон-фононного взаимодействия.
Для простоты изложения будем описывать электрон-фононное взаимодействие с помощью константы потенциала деформации. Тогда значение действующего на электрон потенциала в точке г определяется мгновенными значениями смещений атомов решетки, соответствующих мгновенным значениям амплитуды и, (мы временно восстанавливаем векторное обозначение для амплитуды):
В рамках метода псевдопотеициала параметр D заменяется псевдо-потенциальным формфактором, а выражение iq • uqlYN заменяется надлежащим структурным фактором. Так как мы изучаем здесь лишь взаимодействие с продольной модой, мы можем записать
(4.48)
464
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
выражение iq-u, в виде iquq. Мы также возьмем в качестве одноэлектронных состояний нормированные плоские волны. Это простейшее приближение используется весьма часто. При переходе к более общему случаю, когда учитываются эффекты зонной структуры, никаких принципиальных затруднений не возникает. В то же время используемая нами простая модель позволяет получить большинство физических результатов.
Матричные элементы взаимодействия (4.48) между двумя электронными состояниями вычисляются непосредственно, но для получения матричных элементов между фононными состояниями необходимо сначала выразить амплитуды uq через операторы рождения и уничтожения aq и ая. Воспользовавшись выражением (4.44), получаем
Матричные элементы операторов aq и aq между фононными состояниями легко вычислить с помощью выражений (4.42). Из соотношения (4.26) следует, кроме того, что матричные элементы экспоненты е{ч т между электронными состояниями можно получать, заменив е^ т на 2 с1+чск (Для этого достаточно воспользоваться
k
принятым нами предположением, что одноэлектронные состояния описываются нормированными плоскими волнами). Таким образом, вторично квантованное представление для оператора электрон-фононного взаимодействия имеет вид
Переход электрона из состояния к в состояние к + q сопровождается поглощением фонона с волновым вектором q или испусканием фонона с волновым вектором —q.
Итак, мы выполнили поставленную задачу — записали гамильтониан для электронов и фононов в представлении вторичного квантования. В большинстве приложений мы будем считать, что в нулевом приближении электроны и фононы не взаимодействуют, а электрон-фононное взаимодействие будем рассматривать как возмущение.
^(г) = D 2 (-Щй^)1/2 *4 («, + *-»)
9
где
(4.49)
(4.50)
3. Приложения
Такой подход, очевидно, полезно применить к решению следующих трех задач. Первая задача—это задача о рассеянии электро-
§ 4. Электрон-фононное взаимодействие
465
нов на колебаниях решетки, благодаря которому возникает электрическое сопротивление. Эту задачу мы ранее решали квази-классическим методом. Вторая задача — это вычисление сдвига энергии электронов, связанного с взаимодействием электрона с фононами. Мы упоминали подобные эффекты при обсуждении поверхностей Ферми в металлах. И наконец, третья задача состоит в вычислении электрон-электронного рассеяния, связанного с обменом фононами. Это рассеяние является причиной возникновения сверхпроводимости. Основная трудность решения этих задач уже была нами преодолена, когда мы записали гамильтониан в представлении вторичного квантования, и мы рассмотрим эти задачи весьма кратко.
Рассеяние электронов. Вероятность рассеяния вычисляется с помощью «правила»
Ла = •?? | <2 |Д?*|1> |*6 (?,-?,). <4-51)
где символы | 1) и | 2} обозначают состояния с любым числом электронов и фононов. Из выражения (4.49) видно, что матричные элементы отличны от нуля лишь в том случае, если изменяется значение волнового вектора одного из электронов. Поэтому рассмотрим акт рассеяния, в котором один электрон переходит из состояния | ki) в состояние | к2), а состояния остальных электронов не изменяются. В матричный элемент такого перехода дает вклад лишь один член суммы (4.49), для которого
k = k(, q = k2—k,.
Пусть в начальном состоянии имеется пч фононов с волновым вектором q и ri-q фононов с волновым вектором —q. Записывая это состояние в виде | nq, л_?>, найдем действие на него фононных операторов, входящих в (4.49):
(Oq + alq) |л?, П-q) = У~П~Ч\ nq—I, П^) + \ГПЧ1+ 1 | Л„ Л_,+ 1).
Таким образом, матричные элементы отличны от нуля лишь в том случае, если в конечном состоянии электроны распределены указанным выше образом, а число фононов в конечном состоянии на единицу меньше или больше, чем в начальном.
Рассмотрим сначала переход в такое состояние | 2), в котором число фононов q-й моды на единицу меньше, чем в состоянии | 1). Соответствующий матричный элемент равен
<2|^Ф|1 ) = УГ%У<-
Возводя это выражение в квадрат и подставляя в (4.51), мы убеждаемся, что вероятность процесса рассеяния, сопровождающегося
