Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
1. Классическая теория простых металлов
Давайте рассчитаем отклик системы (т. е. флуктуации электронной плотности) на потенциал, который включает в себя как приложенное поле, так и члены экранирования; этот потенциал запишем в виде
Vtei(q-r-ut)'
Функцией распределения первого порядка будет тогда
М p)ei(,-,-°‘>.
Ее можно сразу же подставить в линеаризованное уравнение Больцмана [уравнение (3.16)]:
- ШП + ц. v • (- iqvt) -Ь Щ ? V/, = —f±+,
где мы положили
F= — Wte^v •’-«»*)= —
и после подстановки сократили выражение на фазовый множитель eHq T-wt) Отсюда сразу получаем следующее решение:
t /„\ *4• VTKf (<5/о/дЕ) + бп/о /о oi\
MW---------l-icoT + cq-VT * W-W
Теперь нам нужно вычислить флуктуацию электронной плотности nsei(« r-“‘), которая определяется как
«. = -p-Jd3P/i(p). (3.32)
Это выражение в свою очередь необходимо для определения 6п/0, однако мы можем вести интегрирование в (3.32), и не зная величины
6„/0. Прежде всего усредним выражение (3.31) по углам; лишь это
среднее и входит в (3.32). Мы пишем
q • v = <70 cos 0
318
Гл. III. Электронные свойства
и замечаем, что интегралы по углам имеют вид
Jxdx Р dx a-j-bx И J a-j-bx ’
В результате для искомой средней величины находим
+-ЙН"(тЗк±?)- <з-зз)
Здесь мы должны получить более явное выражение для 6„/0. Заметим, что функция /0 зависит от плотности через ?:
ШЕ)=—
где бп (г) — флуктуация локальной плотности nt exp [t (q • г — со/)], a dVdn = l/п (I) — обратная плотность состояний на единицу энергии при энергии, равной энергии Ферми. Таким образом, все члены в (3.33) пропорциональны df0/dE. До этого момента все, что мы делали, было справедливо как для невырожденного газа, так и для вырожденного. Теперь мы ограничимся случаем простых металлов, подставляя (3.33) в (3.32) и пользуясь 6-образным видом функции —dfoldE. Заметим далее, что
.... dn 8яр2
“®—зг“тйг-
где р и v отвечают энергии Ферми. В результате получаем
^--(iK'-w'nt i:g*?)]+
I |n / l—iwt+iqvT\
' 2iqvx \ 1 —i<ax—iqvx / *
Разрешая это уравнение относительно п» и сравнивая с (3.28), находим
v/_ „/»\ 2iqvx \\ — mx—iqvxl ,о
X(q, co)= -»(?)-? r ian_im+igvxr-- (3.34)
2iqvx \1—icoT — iqvx)
Мы довели до конца решение задачи об определении распределения электронной плотности, когда известен полный результирующий потенциал. Теперь из соотношения (3.30) мы немедленно получаем диэлектрическую проницаемость
( I-tot+frt* \
_, | . 4ле* /t. 2tqvx \ l—im — iqxnj
e(<7, <о) = 1 + п (|) — , <от+-Д_.
2iqvx \ 1 — iсот—iqvx )
§ 4. Экранирование
319
Величина е (q, ©) называется диэлектрической проницаемостью, зависящей от частоты и волнового вектора. Заметим, что она выполняет ту же роль, что и обычная диэлектрическая постоянная изолятора, которая связывает приложенные поля с результирующими. Таким образом, мы получили диэлектрическую проницаемость для полуклассического свободного электронного газа.
2. Предельные случаи и применения диэлектрической проницаемости
Простейшим применением диэлектрической проницаемости является расчет экранирования. Используя классическое уравнение переноса, мы ограничились только длинноволновыми изменениями
Фиг. 87. В приближении Томаса — Ферми фермиевская кинетическая энергия р*р (r)/2m считается хорошо определенной функцией координат и равна разности между термодинамической энергией Ферми ? и полной потенциальной энергией Vt (г) в данной точке.
Локальная электронная плотность в каждой точке вычисляется затеи через локальный импульс Ферми по той же формуле, что и для однородного электронного газа.
потенциалов и, следовательно, малыми значениями q. Это ограничение будет снято в следующем параграфе, однако все же интересно посмотреть, что собой представляет классический результат.
Заметим, что если частоту со положить равной нулю, то функция X (i7, 0), как видно из (3.34), будет просто равна— п(?). Это весьма разумный физический результат; он соответствует линеаризованному приближению Томаса — Ферми. Такое приближение можно понять, рассмотрев статический потенциал с очень большой длиной волны, как показано на фиг. 87. (Длина волны должна быть значительно больше, чем длина волны электронов.) Так как длина волны очень велика, мы можем описать заполнение состояний локально, суммируя плотность состояний 2/Л3 по объему в пространстве импульсов, соответствующему занятым состояниям. Термодинамическая энергия Ферми, вычисленная в данной точке, будет суммой полного потенциала в этой точке и фермиевской кинетической энергии рЩт. Поэтому, так как потенциал в разных точках различен, а термодинамическая энергия Ферми должна быть везде в системе
320
Гл. III. Электронные свойства
одной и той же, импульс Ферми должен флуктуировать. Там, где потенциал мал, кинетическая энергия Ферми должна быть велика и, следовательно, плотность электронов должна быть выше. Ясно, что избыточное число электронов будет равно просто плотности состояний на единицу энергии при энергии Ферми, умноженной на локальное увеличение кинетической энергии Ферми, которое в свою очередь равно локальному уменьшению потенциала. Отсюда непосредственно получаем соотношение (3.28), в котором
