Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
v.* + -iLG.(vxH)-v-G = 0
или
V'(*+-^(HXG)-G)=0.
Здесь мы учли, что
А.(ВхС) = В.(Сх А).
Заметим, что полученное выражение будет решением для всех v в том и только том случае, если
* = G--^(HxG).
Отметим, что ток, описываемый нашей пробной функцией распределения первого порядка, можно получить точно так же, как и в случае электропроводности, и результат имеет тот же вид:
j = oG.
Таким образом, можно выразить электрическое поле через ток:
* = 7-^Г<Нх»- <3|8>
В отсутствие магнитного поля второй член исчезает, и мы получаем в точности тот же результат, что и раньше. Второй член в выражении (3.18) отвечает компоненте электрического поля, перпендикулярной приложенному магнитному полю и току. Коэффициент пропорциональности называется постоянной Холла, и его величина есть
п_ (~g)T - 1
* тса N ( — е) с ’ где мы использовали явное выражение для проводимости.
§ 2. Явления переноса
293
Заметим, что знак постоянной Холла тот же, что и знак заряда носителя, который мы приняли равным —е. Если наш расчет относится к дыркам, то знак заряда, входящего в выражение для силы Лоренца, должен быть положительным, и соответствующая постоянная Холла тоже будет положительной. Этот случай относится к физической ситуации, проиллюстрированной на фиг. 74, б. Заметим, наконец, что, поскольку величина электрона и скорость света хорошо известны, постоянная Холла дает непосредственно величину числа имеющихся носителей (если все носители одного знака).
При выводе выражения для постоянной Холла мы задавались некоторыми значениями эффективной массы и времени релаксации, хотя мы не конкретизировали, относится ли все рассмотрение к металлам или полупроводникам. В простых металлах (при небольших полях) измерения дают значения постоянной Холла, близкие к тем, которые мы получили бы, принимая для валентных электронов приближение почти свободных электронов. В полупроводниках п- или p-типа эта величина дает разумное число электронов и дырок соответственно. Одновременные измерения постоянной Холла и электропроводности позволяют найти как число носителей, так и отношение времени релаксации к эффективной массе. Последняя величина непосредственно определяет подвижность, т. е. отношение средней скорости дрейфа к электрическому полю. Оказывается, что конечная формула для постоянной Холла остается справедливой и тогда, когда мы рассматриваем более сложные и анизотропные зонные структуры. Однако при этом интерпретация величины N несколько усложняется. Если мы рассматриваем, например, кристалл, содержащий носители в двух зонах, то N будет некоторой «взвешенной» суммой числа носителей в каждой зоне, причем «веса» зависят от эффективной массы и времени рассеяния носителей в каждой из зон. Оказывается также, что поперечное электрическое поле теперь уже не зависит линейно от магнитного поля. В сильных и слабых полях поведение носителей существенно различно. «Сильное» поле или «слабое» зависит от того, будет ли произведение циклотронной частоты и времени рассеяния для разных носителей, т. е.
-ст = ^, (3.19)
велико или мало по сравнению с единицей. Этот критерий можно также записать через угол Холла 0, т. е. угол между j и $. (Сравнивая (3.18) и (3.19), видим, что tg 0 = (ост.)
Заметим, что для простых металлов в слабых полях N соответствует плотности валентных электронов. В очень сильных полях постоянная Холла для простых металлов определяется разностью между числом электронов и числом дырок, которые можно найти, анализируя ферми-поверхность. Если все участки поверхности Ферми замкнуты, эту величину можно вычислить, вычитая объем
294
Гл. III. Электронные свойства
пространства волновых векторов, соответствующий замкнутым поверхностям, окружающим занятые электронные состояния, из объема, образованного замкнутыми поверхностями, окружающими пустые состояния. Если поверхность Ферми не замкнута, поведение поперечного электрического поля более сложно. Оно зависит от направления открытых орбит на поверхности Ферми и от соотношения объемов, образованных электронными, дырочными и замкнутыми поверхностями *).
Можно заметить, что в наших расчетах продольное электрическое поле оказалось в точности одинаковым как при наложении магнитного поля, так и без него. Этот результат перестает быть верным, когда энергетическая зонная структура анизотропна. В последнем случае продольное электрическое поле также зависит от магнитного поля и обычно растет с ним. Это дополнительное сопротивление, возникающее при приложении магнитного поля, называется магнетосопротивлением 2). Измерение в магнитном поле, в частности, эффекта Холла дает определенную информацию о топологии поверхности Ферми в металлах. Мы не будем вдаваться в детали этого метода изучения ферми-поверхностей.
4. Тепловые и термоэлектрические эффекты
Рассмотрим еще одно традиционное применен не уравнения Больцмана, а именно для описания эффектов, связанных с переносом тепла. В этом случае мы лишь сформулируем проблему и рассмотрим физический смысл результатов. Промежуточные вычисления довольно сложны, но их можно найти во многих учебниках 3).
