Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
dn^^-f(p,r,t)d?pdb. (3.14)
Здесь мы, как и раньше, положили, что плотность состояний в пространстве волновых векторов равна 2/(2я)® на единицу объема, и заменили снова интегрирование по волновому вектору интегрированием по импульсу. Потребовав, чтобы выполнялось условие 1, мы также удовлетворим принципу Паули.
Для нахождения нашей функции распределения требуется квази-классическое приближение, так как мы фиксируем в некотором смысле одновременно и импульс, и координату отдельных частиц. Таким образом, необходимо, чтобы изменение f было малым на всех расстояниях, кроме макроскопических; только в этом случае импульс частиц будет действительно хорошо определенной величиной. В некоторых из наших задач функция распределения не будет
§ 2. Явления переноса
285
зависеть от координат и такого ограничения вообще не возникнет; в других, однако, мы будем вынуждены его учитывать. Заметим, что в чисто классической системе нет ограничения ни на изменение функции распределения, ни на ее максимальное значение, а константа 2/Л3 обычно входит в определение f.
1. Уравнение Больцмана
Теперь мы получим уравнение, которое будет определять изменение во времени введенной нами функции распределения. Оно является, конечно, аналогом уравнения Шредингера, которое описывает изменение во времени волновой функции. Уравнение переноса, которое мы получим, будет служить основой для всех наших расчетов кинетических свойств. Давайте зафиксируем некоторое значение импульса и координаты в системе и будем искать производную функции распределения по времени. Вероятно, наиболее систематический подход состоял бы в том, чтобы рассматривать ячейку в фазовом пространстве и вычислять потоки частиц, входящих в эту ячейку и выходящих из нее 1). Мы сможем, однако, получить результат более непосредственно (хотя, быть может, он будет менее прозрачным) и из более общих соображений. Затем мы обсудим каждый член нашего выражения и согласуем его с тем, что должно было бы следовать из анализа потоков через ячейку в фазовом пространстве.
Мы рассматриваем отдельное занятое состояние, т. е. считаем f = 1. При наличии внешних полей это состояние будет перемещаться в фазовом пространстве согласно нашим квазиклассическим уравнениям. Конечно, если мы следим за траекторией этого отдельного электрона, величина f не меняется и остается равной единице. Если мы наблюдаем за незаполненным состоянием f = 0, то заполнение снова не меняется во времени. Так как значение f, связанное с любым отдельным состоянием, не меняется во времени, то и полная производная от f по времени, взятая вдоль траектории в фазовом пространстве, должна быть равна нулю. Записав это уравнение как
мы непосредственно получим уравнение переноса.
Однако хотелось бы еще учесть возможное рассеяние электронов, причем такое рассеяние, механизмы которого не связаны (и не могут быть связаны) с наложенными внешними полями. Аналогичные процессы рассеяния мы уже описывали ранее. В процессе рассеяния электрон скачком меняет свой импульс и, следовательно, скачком перемещается в фазовом пространстве. Таким образом, уравнение
*) Такой подход используется Зейтцем [3].
286
Гл. III. Электронные свойства
переноса, которое мы ищем, имеет вид
dt ~ dt
где последний член описывает изменение функции распределения вследствие столкновений. Перепишем наш результат в виде dL,df_^P_,df_dr_ _д[_\
dt dp dt ' dr dt ~ dt | СТОЛКИ *
Теперь мы должны выяснить смысл некоторых величин, входящих в это уравнение. Величина dp/dt есть скорость изменения импульса во времени в данной точке траектории. Она, конечно, в точности равна силе, приложенной к данной точке в данный момент. Производная dr/dt—скорость изменения координаты на траектории при данном значении импульса, т. е. просто скорость частицы V. Таким образом, наше уравнение переноса принимает вид
iU_iLv_*L F+*.
dt dr у dp ^ dt
(3.15)
Смысл этого уравнения делается теперь более физическим. Уравнение для скорости изменения функции распределения в данной точке с данным импульсом содержит три члена. Первый связан с дрейфом электрона; рассматриваемый электрон покидает данную область пространства со скоростью v, и если функция распределения меняется в пространстве, то число электронов, уходящих из данной области, оказывается не равным числу приходящих в нее. Подобным же образом второй член представляет изменение, возникающее вследствие того, что частицы с рассматриваемым импульсом, ускоряясь, переходят в состояние с другим импульсом. Если функция распределения зависит от импульса, то число электронов, выходящих при ускорении из рассматриваемой области, отличается от числа электронов, входящих при ускорении в нее. Наконец, функция распределения может измениться и из-за рассеяния в результате столкновений.
Такая запись члена столкновений несколько неудобна, хотя мы можем вычислить его аналогично тому, как мы раньше вычисляли время рассеяния на дефектах. Почти всегда в расчетах кинетических свойств вводится приближение времени релаксации. При этом если бы функция распределения была равновесной, то величина / не изменялась бы при рассеянии. Если, напротив, функция распределения отличается от равновесной, мы ожидаем, что она будет релаксировать к равновесной функции экспоненциально во времени. Математически это можно записать в виде
