Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
?».**.*и = Люс(л + 4)+-15Г, <3-9>
где мы снова ввели циклотронную частоту
еН
280
Гл. III. Электронные свойства
Это же выражение мы получили в п. 6 § 5 гл. 11 на основе общих соображений. Заметим, что энергия не зависит от квантового числа kv, которое определяет лишь начало отсчета координат в функциях гармонического осциллятора. Это означает, что имеется высокая степень вырождения, связанного с тем, что орбиты электрона в магнитном поле могут занимать разные положения в пространстве.
Найденные состояния на первый взгляд не очень соответствуют нашим интуитивным представлениям о том, какими должны быть состояния в магнитном поле. Мы можем, однако, построить, подобно тому как это делается в методе сильной связи, линейные комбинации круговых орбит (каждую из которых мы считаем вырожденной), смещенных одна относительно другой в направлении у. В результате мы получим качественно примерно такую же волновую функцию, как функция (3.7). Такой вид функции является следствием нашего выбора калибровки. Любая другая калибровка дает и другую линейную комбинацию вырожденных волновых функций.
Используем теперь энергии (3.9) для вычисления восприимчивости системы. Обычно ограничиваются учетом только орбит, центры которых лежат внутри нормировочного объема, что ограничивает число допустимых значений ky и степень вырождения этих состояний. Тогда (см., например, [3]) восприимчивость
е8 I 3N \ У» /0 , Лч
^— 4ятс2 ( я ) ’ ( • )
где N — плотность электронов. Это — замечательный результат. Он получается только в рамках квантовой механики, но, вместе с тем, окончательное выражение не зависит от постоянной Планка.
Естественно, нас должно тревожить столь бесцеремонное пренебрежение теми трудностями, которые возникают из-за наличия границ, тем более что последние были так важны в классическом случае. Вид поверхностных состояний у поверхностей, перпендикулярных направлению х, можно получить, потребовав обращения в нуль волновой функции на поверхности при х = 0. Выражение для гамильтониана (3.6) остается при этом справедливым при х> 0; то же относится и к разделению переменных (3.7). Теперь нужно искать такие решения <р (х) уравнения (3.8), которые обращаются в нуль при х = 0. Некоторые простые решения можно получить немедленно. Например, при k„ = 0 функции гармонического осциллятора с нечетными п являются решениями при х > О и удовлетворяют граничному условию <р (0) = 0. Такое состояние показано на фиг. 72, а. Для kv, отличных от нуля, легко получить качественный вид решений, варьируя число нулей функции. Одна из таких возможностей показана на фиг. 72, б. Сразу видно, что подобные изменения поверхностных состояний не могут повлиять на наши расчеты восприимчивости в больших системах. В основе
§ 1. Термодинамические свойства
281
этих расчетов лежит вычисление полной энергии, в то время как доля поверхностных электронов уменьшается с ростом размера системы в направлении х. Такие поверхностные состояния нужно было бы принимать во внимание, если бы мы рассчитывали восприимчивость через полный момент системы, а не через полную энергию. Вместе с тем, мы видим, что вследствие изменения этих поверхностных состояний вряд ли можно ожидать (как это было в случае классической системы) исчезновения плотности тока вблизи поверхности, хотя это должно иметь место во внутренней области. Возникновение соответствующей восприимчивости можно понять, рассматривая поверхностные токи, которые возникают в магнитном поле.
При расчете магнитной восприимчивости газа свободных электронов такие поверхностные состояния обычно не учитываются. Эти
«И
V
v
а
Фиг. 72. Возможные поверхностные состояния в магнитном поле показаны сплошными линиями для случая граничных условий, требующих обращения в нуль функции в точке х = 0.
Случай б соответствует орбите электрона, скачущего вдоль поверхности (для электронов в металле с энергией Ферми). Пунктирная кривая может иметь примерно 10* осцилляций, а координата х, будет приблизительно равиа-и^/шс.
состояния, однако, в действительности наблюдали при изучении зависимости поглощения микроволнового излучения на поверхности металла от магнитного поля [4]. Структура линий микроволнового поглощения обусловлена электронами, которые в классическом пределе скачут вдоль поверхности, двигаясь почти параллельно ей. В квантовомеханическом случае это электроны, у которых начало координат в волновых функциях гармонического осциллятора смещено на один радиус орбиты за поверхность металла, как показано на фиг. 72, б. Соответствующая функция <р (х) не имеет внутри металла осцилляций и локализована очень близко у поверхности. Поскольку микроволновое поле проникает в образец лишь на малые расстояния, такие состояния (с энергией, равной энергии Ферми) определяют в основном коэффициент отражения металла.
282
Гл. III. Электронные свойства
3. Парамагнетизм Паули
Другой вклад в магнитную восприимчивость возникает вследствие наличия у электронов магнитного момента. Довольно легко понять происхождение этого эффекта и приближенно оценить его величину, оставаясь в рамках простой картины энергетических зон, которую мы здесь используем. В отсутствие магнитного поля каждое зонное состояние двукратно вырождено, причем одному состоянию отвечает спин, направленный вверх, а другому — спин, направленный вниз. Таким образом, мы можем построить для обоих
