Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
iV(A I m
о = ^-. (3.17)
Мы считали зоны изотропными и параболическими, но не наложили никаких ограничений на форму /0. Поэтому результат в равной степени приложим как к простым металлам, так и к электронам или дыркам в полупроводниках.
19-0257
290
Гл. Ш. Электронные свойства
Выражение (3.17) для проводимости на первый взгляд весьма разумно. Величина eg/m* есть ускорение частицы с зарядом е и массой т* в поле g. Оно сообщает частице скорость etg/m* за время рассеяния т. Таким образом, переносимый ток есть e2tg/m*. Полный ток на единицу объема мы получим, умножая эту величину на число электронов в единице объема. Такое в целом верное рассуждение не может дать правильного численного коэффициента, который в данном случае вследствие нашего определения времени рассеяния обращается в единицу.
Вычисление электропроводности является достаточно простой задачей, которую можно прямо решить, используя уравнение Больцмана для функции распределения первого порядка. При расчете более сложных свойств обычно постулируется некоторая функция распределения первого порядка и подстановкой проверяется, является ли она правильной или по крайней мере приближенно правильной.
3. Эффект Холла
Ранее мы отмечали, что если магнитное поле приложено к системе, в которой течет ток, то носители заряда стремятся отклониться в сторону. Проследим шаг за шагом, как это получается. Представим себе внешнее электрическое поле g0, направленное вдоль оси образца. Электроны будут перемещаться в противоположном направлении; это видно на фиг. 74, а. Если мы наложим магнитное поле перпендикулярно оси образца, то носители будут стремиться отклоняться к одной из боковых сторон образца. У поверхности кристалла они, конечно, не смогут выйти в пустое пространство, в результате начнет накапливаться поверхностный заряд. Этот поверхностный заряд вызовет появление поперечного электрического поля $н — поля Холла, в котором возникнет компенсирующий поток, так что в результате носители останутся внутри образца. На первый взгляд эта задача кажется исключительно сложной. Однако, если ее правильно сформулировать, она становится совсем простой. В качестве примера мы рассмотрим бесконечную систему с полным электрическим полем g и найдем направление тока в ней. После этого мы представим себе образец разрезанным по оси, вдоль которой течет ток. Электрическое поле, разложенное на соответствующие составляющие, будет содержать продольное внешнее паче и поперечное поле Холла. При этом детали строения прверхности оказываются несущественными.
Начнем с того, что снова запишем уравнение Больцмана в приближении времени релаксации для однородной стационарной системы. Производные функции распределения по координате
§ 2. Явления переноса
291
и по времени обращаются в нуль, и мы имеем
К.Г + Ыо = 0.
ар т
Сила F включает теперь в себя как магнитную, так и электрическую силу. Оказывается, что магнитное поле можно учесть точно, тогда
Электроны Дырни
а б
Фиг. 74. Физическое происхождение эффекта Холла.
а — электроны, ускоренные влево внешним электрическим полем %». отклоняются затем вверх магнитным полем, направленным перпендикулярно странице от читателя. Результирующее накопление заряда у поверхностей вызывает поперечное поле Холла которое обеспечивает стационарное состояние, препятствуя дальнейшему накоплению заряда; 6 — соответствующее построение для твердого тела, в котором носителями являются дырки, приводит к полю Холла противоположного знака.
как для электрического поля мы снова должны будем ввести разложение. Если бы мы искали разложение также и для магнитного поля, мы бы нашли, как это будет видно впоследствии, что член, представляющий основной интерес, билинеен по электрическому и магнитному полю и в этом смысле является членом второго порядка. Проще написать ft как вклад в функцию распределения, линейный по электрическому полю. Заменяя F на силу Лоренца для частицы с зарядом —е, получаем
§v.(-e*-ivxH)+?.(-*-i.vxH)+A_o.
Мы выделили в df/dр члены нулевого и первого порядков, чтобы можно было воспользоваться зависимостью от энергии только равновесной функции распределения. Первый член с магнитным полем сразу исчезает, так как величина v*(v х Н) тождественно равна нулю. Вторым членом с электрическим полем можно пренебречь, так как он второго порядка малости. В результате имеем
Мы не можем просто решить это уравнение относительно функции распределения первого порядка, как это мы делали при расчете электропроводности. Однако можно разными способами попытаться угадать возможный ответ. Например, заметив, что влия-
19*
292
Гл. III. Электронные свойства
ние магнитного поля, грубо говоря, состоит во вращении распределения, мы будем искать распределение в виде, аналогичном тому, который был получен при расчете электросопротивления. Мы заменим, однако, электрическое поле некоторым вектором G, который должен быть найден; таким образом, мы считаем, что
fi = <*Wy'G-
Теперь можно вычислить производную fi по р, полагая р = ту:
И-
Последнее слагаемое не дает вклада, так как в уравнении оно приведет к члену, содержащему множитель v*(v х Н). Подставим теперь нашу пробную функцию распределения обратно в уравнение Больцмана. Сокращая на множитель (—е) df<JdE, который появляется в каждом члене, получаем
