Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Термодинамические свойства
277
2. Диамагнитная восприимчивость свободных электронов *)
Вклад электронов проводимости в магнитную восприимчивость твердого тела представляет собой одно из интереснейших термодинамических свойств. Замечательно то, что в классической теории он тождественно равен нулю. В этом легко убедиться, если вспомнить, что восприимчивость прямо пропорциональна второй производной от полной энергии системы по магнитному полю. Таким образом, чтобы найти восприимчивость, нужно прежде всего вычислить полную энергию электронов проводимости в присутствии магнитного поля.
В классическом пределе квантовомеханическая сумма по состояниям заменяется интегралом по фазовому пространству. Таким образом, полная энергия будет
^ = j d3rd3pfo [Ш (р, г)] Ш (р, г),
где <Ш — гамильтониан, а /о — равновесная функция распределения, зависящая только от энергии частицы. В присутствии магнитного поля, однако, гамильтониан электрона (с зарядом — е) дается выражением
^ г>=i [р + +v w* <3-5>
где А (г) — векторный потенциал, соответствующий выбранному магнитному полю
Н (г) = V х А (г).
Выполняя сначала интегрирование по импульсам, можно ввести новую переменную интегрирования
При этом мы получаем выражение, которое вовсе не зависит от векторного потенциала и, следовательно, от магнитного поля. Поскольку энергия не зависит от магнитного поля, восприимчивость равна нулю и соответствующий вклад электронного газа в восприимчивость отсутствует. Этот результат отражает тот факт, что в классической теории магнитное поле не меняет энергии электрона, а только отклоняет его.
Такой результат может показаться удивительным, если связывать восприимчивость с магнитным моментом электронного газа в присутствии магнитного поля. В этом случае каждый электрон описывает спиральную траекторию, и все эти траектории в однородном магнитном поле закручены в одну и ту же сторону. Поэтому
*) Магнитные свойства простых металлов подробно обсуждаются в работе 12].
278
Гл. III. Электронные свойства
каждый электрон дает в магнитный момент системы вклад одного знака. Однако при более пристальном рассмотрении мы видим, что следует учитывать также и электроны у поверхности системы, которые не могут описывать замкнутые спиральные траектории вследствие наличия границ. Эти электроны движутся по гораздо большим орбитам вдоль поверхности системы, причем в направлении, обратном направлению движения внутренних электронов, как это показано на фиг. 71. Вклад таких электронов в магнитный момент точно компенсирует вклад внутренних электронов. Это становится
Ф и г. 71. Движение электронов под влиянием магнитного поля в ограниченном пространстве.
Вадио, что электроны, скачущие вблизи поверхности, проходят свою большую орбиту вдоль поверхностей в направлении против часовой стрелки, тогда как внутренние электроны движутся в направлении часовой стрелки (в иллюстративных целях принято зеркальное отражение).
видно еще лучше, если заметить, что в каждой точке, включая точки вблизи поверхности, есть электроны, движущиеся с равными и противоположно направленными скоростями, и полная плотность тока везде равна нулю.
Эта ситуация нарушается в квантовой механике, поскольку, как мы видели в п. 6 § 5 гл. II, орбитальное движение электрона в магнитном поле квантовано. Следовательно, собственные значения энергии электрона зависят от магнитного поля, и вычисленная полная энергия также оказывается зависящей от магнитного поля. Соответствующий вклад в восприимчивость характеризует диамагнетизм Ландау. Интересно было бы как можно дальше продвинуться в вычислениях, например для случая свободных электронов, чтобы получить вид электронных состояний в магнитном поле.
Перепишем гамильтониан (3.5), полагая векторный потенциал равным
А=хНу,
§ t. Термодинамические свойства
279
где у — единичный вектор в направлении у. Такому векторному потенциалу отвечает однородное магнитное поле Н в направлении г. Векторный потенциал можно выбрать и в другом виде (например, —1/2г х Н), тогда ему будет соответствовать другая калибровка. Каждому из таких потенциалов отвечает свой набор собственных состояний, и позднее мы обсудим, в чем существо этих отличий. Калибровка, которую мы здесь выбрали, обычно оказывается наиболее удобной. Гамильтониан тогда принимает вид
*~S-(fT+?*)’• <зв>
Мы не пишем здесь потенциала, так как считаем электронный газ однородным. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что гамильтониану (3.6) отвечают собственные функции вида
ф (г) = Ф (х) eihuveihzZ, (3.7)
где ф (*) удовлетворяет уравнению
+ + <М>
Мы выбрали периодические граничные условия на поверхностях кристалла, перпендикулярных осям у и г. Теперь необходимо рассмотреть граничные условия на поверхностях, перпендикулярных оси х.
Уравнение (3.8) представляет собой просто уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с центром в точке
упругой константой
с2#2
(тс)2
и собственным значением
Е
2т •
Таким образом, собственные состояния описываются функциями гармонического осциллятора в направлении х, а энергии электронных состояний в магнитном поле определяются выражением
