Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Ф н г. 73. Схематическое изображение зон для электронов со спнном вверх
Без магнитного поля (сплошные линии) числа электронов с обоими спинами одинаковы. При включении магнитного поля эоиы со спином вверх и со спином вииэ смещаются в противоположных направлениях на &Н — энергию взаимодействия между частицей с магнитным моментом 3 и магнитным полем Н. Так как энергия Ферми должна быть для обеих зон одной и той же. зоны заполняются по-разному и возникает магнитный момент.
спинов две идентичные зонные структуры, как показано на фиг. 73. При этом состояния, соответствующие каждой из этих структур, заполнены до одной и той же энергии Ферми.
Когда включено поле Я, энергия электронов, имеющих магнитный момент р, параллельный полю, понижается на величину рЯ, а энергия электронов с антипараллельным моментом повышается на величину рЯ. Происходит простой сдвиг зон со спином вверх и со спином вниз друг относительно друга на величину 2рЯ. Энергия Ферми, однако, является константой для всей системы (причем в первом порядке не зависящей от Я), следовательно, электроны переходят из зоны со спином вниз в зону со спином вверх. Очевидно, что число перешедших электронов на единицу объема есть
Спин вверх
Спин вниз
и со спнном вниз.
где п (?)/2 — плотность состояний с данным спином на единицу энергии, взятая при энергии, равной энергии Ферми. Каждый из перетекающих электронов дает в полный момент вклад 2р,
§ 2. Явления переноса
283
следовательно, магнитный момент на единицу объема есть
Р *п(Е)Н, что соответствует восприимчивости
Х = Р*л(?). (3.11)
Этот парамагнитный вклад в % положителен в противоположность диамагнитному вкладу в восприимчивость (3.10). Можно оценить величину парамагнитного члена, приняв для р значение, равное магнетону Бора:
(такой выбор как раз отвечает случаю свободных электронов), и положив плотность состояний свободных электронов
„ _ 3N _ 3Nm
(?) — 2Ер ~ h*k*F ’
В результате получим
*-^(?ГНгГ- <313>
где Z — валентность. Сравнивая с диамагнитной восприимчивостью (3.10), видим, что парамагнитный член отличается от диамагнитного в Zl/s раз. На практике оказывается, что парамагнитный вклад преобладает для большинства простых металлов, причем выражение (3.13) в количественном отношении весьма неточно. Формулу (3.11) можно считать правильной, имея в виду, однако, что она содержит погрешности, связанные как с использованием значения р для свободных электронов (оно должно быть исправлено путем учета поправок к магнитному моменту за счет орбитального движения), так и с использованием плотности состояний свободных электронов. Когда мы будем рассматривать теорию ферми-жидкости Ландау, мы получим поправки к п (Е), учитывающие электрон-электронное взаимодействие. Последние фактически отличаются от соответствующих поправок к величине п (?), фигурирующей в выражении для электронной теплоемкости.
Магнитная восприимчивость металла содержит кроме рассмотренных здесь двух слагаемых и диамагнитный вклад, связанный с электронами внутренних оболочек. Этот вклад можно рассчитать точно так же, как и восприимчивость свободных атомов.
§ 2. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Перейдем теперь к обсуждению таких явлений переноса, как электро- и теплопроводность. На первых порах мы будем считать, что все изменения в системе и все приложенные потенциалы
284
Гл. III. Электронные свойства
медленно меняются на расстояниях порядка межатомных, поэтому квазиклассическая теория, развитая в § 2 гл. II, оказывается наиболее подходящей для наших целей. В большинстве случаев мы будем аппроксимировать энергетические зоны параболами, поэтому квази-классическое рассмотрение будет по существу идентичным классическому, за исключением учета принципа Паули.
Как уже отмечалось раньше, это имеет смысл только тогда, когда можно описать электронные состояния с помощью волновых пакетов. Образование волнового пакета сопровождается появлением неопределенности в энергии рассматриваемых частиц. Если мы собираемся рассчитывать энергии электронов с точностью, большей КТ, то мы не должны рассматривать внешних полей, которые существенно меняются на расстояниях порядка 6г, где бгбр « ft или 6r « hv/KT (здесь v — скорость частицы). Мы не можем применить такой подход для описания, например, движения частиц в полях отдельных ионов, так как эти поля существенно изменяются на атомных расстояниях, и построение волновых пакетов, локализованных на таких длинах, приведет к неопределенности в энергии, большей даже энергии Ферми в металле. Допустимо, однако, рассматривать движение электронов в системах, неоднородность которых имеет макроскопические размеры; это как раз то, чем мы собираемся здесь заниматься.
Вследствие указанного ограничения на характерный размер неоднородности оказывается возможным ввести вероятность заполнения состояний, зависящую не только от импульса и времени, но и от координаты. Обозначим эту функцию распределения через f (р, г, t). Равновесная функция при некоторой температуре будет просто фермиевской функцией /0 (?)• Полное число электронов, находящихся в некоторой данной области импульсов и координат, можно получить простым интегрированием по пространству импульсов и пространству координат, причем
