Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим теперь интеграл I в различных порядках по температуре. Мы уже нашли член нулевого порядка /0 = G (?). Из (3.1) и (3.2) теперь можно видеть, что член п-го порядка имеет вид
In= ~"^TG< }(?) j (Е—%) d? (е(В-5)/КТ+1) dE =
— оо
... WT)n а<п)(п ?
~ «! J (е*/2+е-*/2)2 •
— ОО
где мы обозначили
Подынтегральная функция нечетна для нечетных индексов, так что дают вклад только члены с четными п. Для четных п интеграл можно вычислить с помощью контурного интегрирования или взять из таблиц. Здесь нас будет интересовать только второй член. Тогда
/ = С(6)+-^(КГ)*(Г(6)+... .
Все интегралы, которые нам в дальнейшем понадобятся, можно получить прямо из эюй формулы.
Для начала найдем зависимость энергии Ферми от температуры. Это можно сделать, потребовав, чтобы полное число имеющихся электронов N0 оставалось при изменении температуры постоянным. Запишем интегральное выражение для полного числа электронов и разложим его по температуре. В этом случае g(E) = п (Е) — плотности состояний на единицу энергии и единицу объема, и
Е
G (?) = j п (?) dE.
— 00
Имеем
N0= j h(E)g(E)dE = G(l) + ^(KT)*G'(t). (3.3)
Теперь энергия Ферми отличается от своего значения ?0 при абсолютном нуле членом, который, как мы увидим, оказывается второго порядка по КТ. Поэтому можно записать
G(S) = G(Sn) + G'(So)(S-go)+... •
§ 1. Термодинамические свойства
275
Но первый член равен полному числу электронов при абсолютном нуле, который в свою очередь равен No. Таким образом, мы можем решить уравнение (3.3) относительно ?, получив искомый результат с точностью до второго порядка по КТ:
t t б*(6о) /Ь"Г\8_ f rt' (?о) /L"r\9
Теперь аналогичным образом можно получить и полную энергию системы:
Е0= j L (Е) n(E)EdE = G © + ?G* © (КТ)* + ..., где G (|) в этом случае есть
t
G©= j n(E)EdE.
— оо
Найдем, наконец, удельную теплоемкость, которая равна производной от полной энергии по температуре. Ее можно вычислить непосредственно:
= к {и© [+ -ТI"® ® 1 КТ) =
= Л*_К*Тп&); (3.4)
это и есть наш окончательный результат. Поскольку мы оставили лишь члены низшего порядка по КТ, в этом выражении нет необходимости отличать | от |0.
В случае простых металлов плотность состояний порядка обратной энергии Ферми и каждая следующая производная п (Е) содержит дополнительный множитель порядка l/EF. Таким образом, наш параметр разложения, в качестве которого мы фактически брали величину KT/EF, имеет порядок 1/200.
Заметим прежде всего, что электронный вклад в удельную теплоемкость прямо пропорционален плотности состояний при энергии Ферми. Кроме того, он линеен по температуре и поэтому при низких температурах стремится к нулю. Заметим далее, что электронная теплоемкость по порядку величины равна своему классическому значению, умноженному на КТ и на плотность состояний. Физически этот результат означает, что за электронную теплоемкость ответственны только те электроны, энергии которых лежат в интервале КТ вблизи энергии Ферми. Это вполне разумный результат. Электроны, находящиеся значительно ниже энергии Ферми, не могут быть возбуждены ввиду того, что соседние с ними состояния уже заполнены.
18*
276
Гл. III. Электронные свойства
Итак, мы снова находим, что электронный вклад в теплоемкость весьма мал по сравнению с ее классическим значением, связанным с движением атомов. Мы увидим, однако, что при низких температурах атомный вклад в теплоемкость убывает с температурой быстрее, чем электронный. Таким образом, при достаточно низких температурах электронный вклад в теплоемкость становится доминирующим, и ее наблюдаемое поведение должно быть линейным по температуре. Это проиллюстрировано на фиг. 70. Все параметры
Фиг. 70. Низкотемпературная теплоемкость металла.
Для металлов с высокой электронной теплоемкостью, таких, как никель, показанный температурный интервал будет порядка 20 К.
в выражении (3.4) известны, кроме плотности состояний при энергии Ферми, поэтому эксперимент дает нам способ непосредственного измерения этой величины. Полученная таким способом плотность состояний обсуждалась в предыдущей главе, когда мы говорили о простых металлах. Подобные измерения плотности состояний дают также ценную информацию и о переходных металлах, незаполненные d-зоны которых имеют очень большую плотность состояний; соответственно высока и электронная теплоемкость этих веществ.
Удельная теплоемкость — лишь одно из термодинамических свойств, которые можно рассчитать непосредственно, если известны энергетические уровни системы. В этих случаях свободная энергия и энтропия также вычисляются обычными методами статистической механики.
Мы основываемся здесь на одноэлектронном приближении, в рамках которого можно указать отдельные одноэлектронные состояния с энергиями Еп и рассмотреть статистически их заполнение. В § 6 мы увидим, что, как утверждает теория ферми-жидкости Ландау, это же остается верным, если мы отказываемся от одноэлектронного приближения и фактически допускаем, что электроны взаимодействуют друг с другом. В этой теории одночастичные состояния, которые мы здесь обсуждаем, будут заменены так называемыми квазичастичными состояниями.
