Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Уф, = 0,ф,.
У*ф, = 0?ф, = ф,.
Уф, = ?),,ф, + 02,ф2| Уф2 = /),2ф, + 02,ф2,
ф, — ?/,,ф^ + фг = 1/,2 ф, +
(1-2)
где коэффициенты 1/ц выбираются так, что
(1.3)
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
27
На матричном языке это означает, что матрица D приводится с помощью преобразования U к диагональному виду. Как и прежде, можно показать, что D[ и D' могут принимать лишь значения +1 или —1. Мы приходим к заключению, что в случае гамильтониана, обладающего симметрией инверсии, всегда можно взять в качестве решений уравнения Шредингера четные или нечетные функции. При этом предполагалось, что эти два состояния вырождены, хотя симметрия этого и не требует. Такое вырождение называют случайным. Ниже мы увидим, что в трехмерных проблемах иногда встречается вырождение, обусловленное симметрией. Подобное вырождение вследствие симметрии иллюстрируется на примере трех p-состояний свободного атома. Из изотропности пространства следует, что эти состояния должны быть вырожденными.
Теория групп позволяет получать следствия симметрии и в случае гораздо более сложных систем. Разумеется, чтобы показать, что одномерное уравнение Шредингера с четным потенциалом имеет лишь четные и нечетные решения, не обязательно пользоваться теорией групп. Однако если проведенные выше рассуждения перевести на язык теории групп, то их можно будет применять и в более сложных случаях. На языке теории групп преобразования J и Е, где Е — тождественное преобразование (например, вращение на угол 0°), образуют группу.
Чтобы смысл терминологии, используемой в теории групп, был ясен, условимся представлять состояния векторами. Произвольному состоянию
ф = аф, + Ьф,
мы сопоставим вектор ( ? ) • Выше мы показали, что инверсия переводит это состояние в состояние
(aDi j + bDl2) + (aD2t + W?a) Фг* или в матричных обозначениях
где D (У) обозначает матрицу
Dt2
Djz
:]•
Аналогично определяется матрица, соответствующая тождественному преобразованию Е:
28
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
Матрицы D(?) и D(J) образуют представление группы в базисе Ip, и ip2.
Выбрав в качестве нового базиса состояния ipj и ip', связанные cipi и ip2 соотношением (1.2), мы получим эквивалентное представление. В новом базисе произвольное состояние a'ip| + b'\р2 представляется вектором . который связан с ) соотношением
В новом базисе инверсия преобразует произвольный вектор j в вектор
(Z)-*«(?)•
где
D' (J) = UD(J)U~1.
Правая часть этого равенства представляет собой произведение трех матриц. Аналогично получаем, что
D' (?) = UD (?) U'1 = D (?).
Матрицы ?>'(?) и D'(J) образуют представление, эквивалентное представлению D(E) и D(J), a ipj и ip' образуют базис нового (штрихованного) представления.
Из соотношений (1.3) вытекает, что в рассматриваемой нами задаче матрицы D' (?) и D' (J) имеют вид
Г1 01 г^>; 0 I
°'<Мо J " °'W-lo D-\-
Такое представление, которое не смешивает состояния ipj и ip', называется приводимым представлением. Любое представление, эквивалентное приводимому, также называется приводимым.
Если бы в нашей группе симметрии было еще одно преобразование симметрии R, мы могли бы аналогичным образом определить D(R). Можно было бы показать, что в этом случае представление D неприводимо, т. е. преобразует различные векторы ip друг через друга, и поэтому состояния должны быть вырожденными. Именно так обстоит дело, например, с тремя p-состояниями свободного атома. Введенные выше понятия будут использованы при изложении теории групп и ее приложений к проблемам симметрии.
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
29
1. Группы
Теория групп занимается изучением весьма общих математических понятий. Здесь же мы излагаем ее исключительно для приложений к группам симметрии и поэтому будем избегать чрезмерной абстрактности, иллюстрируя каждый шаг на группах симметрии. Приведем сначала основные определения и элементарные теоремы.
Группа есть совокупность элементов произвольной природы, например совокупность операций симметрии, преобразующих гамильтониан в себя. Для определенности мы будем, как и выше, считать, что преобразование симметрии действует на функцию, т. е. осуществляет вращение, отражение или трансляцию функции.
Ф и г. 11. Операция симметрии Т, переносящая функцию / (дг) на расстояние Т.
Это активная точка зрения на операцию симметрии.
Система же координат остается фиксированной. Например, на фиг. 11 изображена трансляция функции одной переменной х (функции е~пх'): вектор Т смещает функцию, оставляя систему координат неподвижной (таким сбразом, Те~а*г е~а1х~1">г). Это соглашение принято называть «активной точкой зрения» на преобразования в противоположность «пассивной точке зрения», когда считают, что преобразованию (вращению, трансляции и т. п.) подвергается система координат, а функция не изменяется. Важно быть последовательным, и поэтому мы примем активную точку зрения, которой и будем придерживаться в дальнейшем изложении.
Множество некоторых элементов образует группу, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. Для элементов множества должно быть определено «умножение». Применительно к операциям симметрии произведение Rt •R2 двух преобразований R{ и R2 по определению совпадает с результатом их последовательного выполнения. Сначала выполняется преобразование /?2, а затем /?,. Групповое умножение мы будем обозначать точкой.
