Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
19
ротов образует точечную группу. В ряде кристаллов некоторые из операций точечной группы не оставляют атомы в том же положении. Пример такого преобразования в случае двумерной решетки приведен на фиг. 9. Преобразование, сводящееся к комбинации операции отражения в некоторой плоскости и «неполной трансляции решетки» (т. е. перенос на расстояние, меньшее примитивной трансляции) в плоскости отражения, называется симметрией зеркального скольжения в плоскости, а плоскость называется плоскостью зеркального скольжения. Часто встречается также винтовая (или аксиально-винтовая) симметрия, которая представляет собой
• • • • •
Фиг. 9. Двумерная решетка, обладающая симметрией зеркального скольжения.
Указаны примитивные трансляции решетки т, и тна одну примитивную ячейку приходится три атома. Решетка не симметрична при отражении относительно линия АЛ, одиако если объединить отражение с неполной трансляцией решетки т. то получится операция симметрии. Линия АА в этой решетке соответствует плоскости зеркального скольжения. Симметрия зеркального скольжения содержится в пространственной группе, в соответствующую точечную группу входит простое отражение.
комбинацию некоторого вращения и неполной трансляции решетки вдоль оси вращения.
Как будет показано ниже, операции симметрии кристалла образуют группу (в математическом смысле). Благодаря требованию трансляционной симметрии выбор точечных групп для кристалла резко ограничен по сравнению с группами, возможными для отдельных молекул. Так, например, можно показать, что кристалл может обладать симметрией относительно вращений лишь на углы 60°, 90° и кратные им.
Построим плоскость, перпендикулярную оси рассматриваемого вращения, и из точки их пересечения отложим в этой плоскости проекции трансляций, переводящих решетку в себя. Среди этих проекций выберем те, которые имеют наименьшую длину, они обра-
2*
20
Г л. I. Типы и симметрия твердых тел
зуют «звезду», изображенную на фиг. 10. Заметим, что для каждой трансляции решетки существует и ей обратная; поэтому вместе с каждой проекцией в звезду входит противоположно направленная проекция. Допустим теперь, что вращение (против часовой стрелки) на некий угол 0 переводит кристалл в себя. Тогда проекция а при таком вращении перейдет в проекцию Ь, которая также обязана быть проекцией какой-либо трансляции решетки, поскольку по предположению кристалл, а значит, и трансляции решетки инвариантны относительно рассматриваемого вращения. Вектор разности между b и а в свою очередь должен быть проекцией некоторой
А
Фиг. 10. Векторы а, Ь, —а, —Ь, имеющие одинаковую длину и лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения АА.
Эти векторы являются проекциями трансляций решетки т,. т>, —т.. —т, иа указанную плоскость, причем кратчайшими среди отличных от нуля проекций трансляций решетки.
трансляции решетки, так как разность между любыми двумя трансляциями также есть трансляция решетки. Далее, вектор, соответствующий этой разности, не может быть меньше вектора b (или а), так как а и b принадлежат к числу проекций наименьшей длины. Мы заключаем поэтому, что угол 0 должен быть больше или равен 60°.
Если вращение на угол 0 переводит кристалл в себя, то, повторяя эту операцию несколько раз, мы также будем переводить кристалл в себя. Поэтому звезда может состоять из проекций, образующих друг с другом равные углы не менее 60°. Отсюда следует, что звезду образуют одна, две, три, четыре, пять или шесть проекций, однако звезды с одной, тремя или пятью проекциями можно отбросить, так как противоположно направленные проекции в них не входят.
§ 3. Физические тензоры
21
Таким образом, звезда может содержать две, четыре или шесть проекций, откуда вытекает, что возможны вращения лишь на углы 60’, 90° и кратные им. Симметрия третьего порядка (вращение на 120°) может встречаться без симметрии шестого порядка (вращение на 60:). Пусть, например, проекции трансляций tj, т2 и т3, расположенных над плоскостью (фиг. 10), составляют углы 120°; тогда трансляции —Ть —т2 и —т3 расположены ниже плоскости и их проекции вместе с предыдущими образуют полную шестиконечную звезду. Вращение на 60°, очевидно, не переводит векторы трансляций друг в друга — для этого необходимо вращение на 120°. Симметрия третьего порядка такого типа реализуется для вращений вокруг оси [1111 в кубических кристаллах. Как показано выше, симметрией вращения пятого порядка кристалл обладать не может.
Подобные ограничения понижают число возможных точечных групп симметрии кристаллов до 32. Какой бы кристалл мы ни взяли, допускаемая им точечная группа совпадает с одной из этих групп. Более подробная классификация кристаллов станет возможной, если мы воспользуемся более широким набором операций симметрии, образующих пространственную группу кристалла. Существует всего 230 пространственных групп. Классификацией кристаллов по их свойствам симметрии занимается один из разделов кристаллографии.
Зная симметрию кристалла, можно довольно хорошо предсказать поведение кристалла. Мы можем извлечь такую информацию систематическим путем, используя математические методы теории групп, элементы которой мы изложим в виде, удобном для этой цели. Поскольку теория групп сама по себе составляет весьма обширный предмет, мы предпочтем начать с использования следствий симметрии и затем покажем, как при этом естественно возникают понятия теории групп. Для начала мы изучим физические тензоры, связанные с кристаллами.
