Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Несколько позже мы вернемся к обсуждению математических следствий теории групп, а сейчас полезно проиллюстрировать понятие представления на примере все той же группы треугольника.
Как мы покажем ниже, группы с конечным числом элементов имеют лишь ограниченное число неэквивалентных неприводимых представлений. Для группы треугольника существуют лишь три неприводимых представления, которые можно записать в виде Е а, ст2 ст, Ci С2
Л, 1 1 1 1 1 1
Л2 1 -1 -1 -1 1 1
г 1 _Уз-|Г± Узт г L Улг_±
Г1 0-1 Г-1 0-1 2 2 II 2 2 2 2 И 2 2
Лз U 1-1 L 0 1-1 Уз 1 И Т/3 1 || Т/3 1 УЗ __1_
1-2 2-1L 2 2-JL 2 2-11-2 2J
где буквами Aj обозначены представления. Конечно, существует большое число представлений, эквивалентных представлению А3; однако любое представление группы треугольника либо эквивалентно одному из выписанных выше, либо является приводимым представлением, сводящимся к комбинациям представлений Ль Л2 и Л3.
4. Вырождение, обусловленное симметрией
Для построения представления группы симметрии можно поль-
зоваться любой полной системой ортонормированных функций. Эти функции будем обозначать символом /г, где индекс i означает
номер функции в выбранной системе. Выбранные ортонормирован-
3*
36
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
ные функции могут быть собственными состояниями некоторого гамильтониана, но для проводимых ниже рассуждений это несущественно. Представление группы можно построить, выбрав одну из этих функций и подвергнув ее какой-нибудь операции симметрии для получения новой функции. В силу полноты нашей системы полученная таким образом новая функция должна быть линейной комбинацией старых функций системы, т. е.
Я/,= 2Ял (Я)/,-
j
Подвергая функцию другим операциям симметрии, можно получить коэффициенты Du (Я) для любого элемента R. Аналогично можно построить такие коэффициенты для каждой функции ft.
Может случиться, что некоторые функции /,• образуют такую систему, что все ее члены преобразуются только друг через друга. В этом случае такая подсистема функций образует базис некоторого представления группы. Фактически мы требуем только выполнения условия полноты системы по отношению к операциям симметрии (они должны входить в данную группу). Полученное представление группы содержит матрицы D (Я) для любой операции симметрии R. Матричными элементами матрицы, представляющей R, являются коэффициенты Djit полученные выше, причем первый индекс обозначает строку, а второй — столбец матрицы.
Чтобы показать, что эти матрицы действительно образуют представление группы, нужно проверить, совпадает ли их таблица умножения с таблицей группы. Рассмотрим, например, три операции симметрии, связанные соотношением Ri -R2 = Ra. Выразим действие двух последовательных преобразований -Я2 на функцию fi с помощью матриц. Замечая, что результат должен быть равен Raft, приравняем матрицы, соответствующие Rt -R2 и Ra, и покажем, что матрица, представляющая Ra, равна произведению матриц, представляющих /?, и R2. Запишем Rjt в виде
Rzf, = yiDJl(R2)fj.
3
Применим к этому равенству преобразование Rr, действуя преобразованием Ri на каждую функцию fj в правой части, получаем
Я,-Яг// = 2 S Du (R2) D,j (Ri) f, = 2 DtJ (Rt) D}i (R2)
i i j.i
Левая часть этого равенства равна функции Яэ/г» которую представим в виде
ЯзЬ = 2Я»(Яз)Л.
I
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
37
Приравнивая коэффициенты при каждой функции ft, получаем D„ (Ra) = '2Du(Ri)Dji(R2).
i
Это соотношение совпадает с обычным правилом умножения матриц и показывает, что таблица умножения этих матриц действительно эквивалентна таблице умножения группы.
В теории групп принято говорить, что функции fi образуют бизис данного представления группы. Иногда эти функции преобразуются по данному представлению; тогда говорят, что они принадлежат данному представлению.
Использование базиса для представления оператора, в особенности гамильтониана, хорошо известно в квантовой механике. В качестве иллюстрации уместно построить представление гамильтониана в том же самом базисе Это позволит также пояснить происхождение вырождения, связанного с симметрией. При действии гамильтониана на некоторую функцию ft получается новая функция, которую можно опять разложить по функциям нашей полной системы. Матрицу гамильтониана, таким образом, можно определить с помощью соотношения
3
Если мы предусмотрительно не выбрали специальную систему функций fj, то индекс / будет пробегать здесь все возможные значения.
Допустим теперь, что гамильтониан инвариантен относительно группы симметрии, для которой мы уже получили некоторое представление с помощью функций ft. Тогда при вычислении действия гамильтониана на функцию /, определяемую соотношением
f = Rfi,
несущественно, в каком порядке действуют операторы R и<$№, т. е. гамильтониан коммутирует с преобразованиями симметрии. Действительно, так как преобразование симметрии переводит гамильтониан в себя, то
R(Seti) = <^(Rfi)-
На языке теории представлений это означает, что
2 Du (R) Mjtfi = 2 сMijDn (R) U.
j. t i, j
Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях /{, находим, что представление элемента R из группы симметрии коммутирует с матрицей гамильтониана. Для получения этого утверждения мы использовали тот факт, что операции симметрии переводят гамильтониан в себя.
