Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
5. Соотношение ортогональности
Соотношение ортогональности является, пожалуй, самой важной теоремой, лежащей в основе теории представлений групп. Его можно записать в виде
2 D(S (R) D%. (R) = А б^-брр.6,J,
R
где А — число элементов группы, /,• — размерность »-го неприводимого представления; индексами i и / нумеруются неэквивалентные представления; суммирование по R распространяется на все элементы группы.
Чтобы сделать это соотношение более наглядным, можно поступить следующим образом. Построим систему векторов-столбцов. Каждый элемент вектора-столбца соответствует некоторому матричному элементу неприводимого представления, например элементу, расположенному в левом верхнем углу матрицы представления А3. Вектор-столбец содержит этот матричный элемент, принадлежащий представлениям Е, о,, о2, ст3, С, и С2. Число компонент каждого вектора равно числу элементов группы (в данном случае 6). Число векторов, которые можно построить таким способом, очевидно, равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений.
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
41
Теорема ортогональности выражает просто факт взаимной ортогональности построенных векторов.
Из этой теоремы можно немедленно получить одно важное следствие. Построенные векторы принадлежат Л-мерному пространству в котором, очевидно, можно построить лишь Л взаимно ортогональных векторов. Поэтому сумма квадратов размерностей неприводимых представлений не может превышать числа элементов группы. Оказывается, что в действительности эти числа должны быть равны, т. е.
= (1.6)
Здесь суммирование производится по всем неэквивалентным неприводимым представлениям. Это следует из того факта, что мы построили все неприводимые представления группы треугольника. Действительно, добавление еще одного нарушило бы соотношение (1.6), которое при /, = /2 = 1, /3 = 2, Л = 6, очевидно, выполняется.
6. Характеры
Для многих приложений строить сами представления не нужно. Всю необходимую информацию можно получить, пользуясь лишь характерами. Напомним, что характер каждой матрицы представления равен просто сумме ее диагональных элементов
а
Для каждого элемента группы треугольника легко написать все характеры, пользуясь таблицей неприводимых представлений, однако не обязательно для этого вычислять следы матриц каждого элемента группы. Мы показали выше, что след любой матрицы не изменяется при унитарном преобразовании. Из определения классов поэтому следует, что все элементы одного и того же класса имеют одинаковые характеры, и нам нужно только найти для каждого представления по одному характеру для каждого класса. В случае группы треугольника таблицу характеров можно, таким образом, записать в виде
Е За 2 С
А, 1 1 1
Л2 1 -1 1
А3 2 0 -1
Здесь обозначение За указывает на то, что в соответствующем классе имеется три отражения.
42
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
Заметим далее, что из инвариантности следов при унитарном преобразовании следует, что следы (т. е. характеры) одинаковы для всех эквивалентных представлений. Таким образом, таблица характеров определяется однозначно и не зависит от того, какие неприводимые представления использовались для ее составления.
Полезно использовать общее соотношение ортогональности, чтобы получить соотношение ортогональности для характеров. Это легко сделать в два этапа. Действительно,
x(i)* (R) th (Я) = 2 о!!'* (R) Omm (R),
I, m
откуда получаем
2 x(i)* (R) X(j) (R)= 2 blmbimbtj = hbu.
R l.m
Перенумеруем все классы с помощью индекса р, и пусть в р-м классе содержится gp элементов. Тогда полученное выше соотношение можно переписать в виде
2gpX(i)*(p)X0)(P) = *6,v. (1.7)
р
Это новое соотношение ортогональности также можно сделать более наглядным с помощью ортогональных векторов. При заданном i числа Vgp/h X(i)(p) можно считать элементами вектора-столбца. Тогда каждому неприводимому представлению соответствует свой вектор-столбец. Соотношение (1.7) утверждает, что эти векторы ортогональны. Число компонент каждого вектора равно числу классов в группе. Поэтому число взаимно ортогональных векторов (т. е. число неприводимых представлений) не может превышать число классов. На самом деле эти числа строго равны, и, таким образом, число неприводимых представлений группы равно числу ее классов (в случае группы треугольника это число равно трем).
Соотношения (1.6) и (1.7) обычно позволяют сразу найти размерности неприводимых представлений группы. Например, для группы треугольника число неприводимых представлений равно 3, а сумма квадратов размерностей этих представлений равна 6. Этим условиям удовлетворяет единственный набор целых чисел: 1, 1, 2. Легко показать, что абелева группа, каждый класс которой содержит один элемент, имеет только одномерные неприводимые представления.
Существуют методы получения таблицы характеров, если известна таблица умножения группы. Однако мы не будем останавливаться на этих методах, так как для большинства случаев можно найти опубликованные таблицы.
§ 5. Приложения теории грипп
43
7. Разложение представлений на неприводимые (приведение представлений)
